- •2.2. Применение интерполяционных формул для численного дифференцирования
- •2.3. Метод Рунге-Ромберга
- •5. Численное интегрирование
- •5.1. Постановка задачи численного интегрирования.
- •5.2.1. Метод прямоугольников.
- •5.3. Квадратурная формула Ньютона – Котеса
- •5.4. Метод трапеций.
- •4.4. Метод Симпсона (метод парабол).
5.3. Квадратурная формула Ньютона – Котеса
Простой (но в то же время универсальный) прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция аппроксимируется на отрезке интерполяционным многочленом, например многочленом Лагранжа , т.е. получается приближенное равенство:
, (5.5)
что позволяет свести вычисление интеграла от сложной функции к интегрированию многочлена. Подставляя вместо его представление, получаем:
= . (5.6)
Замечания к (5.6):
а) коэффициенты не зависят от (составлены с учетом узлов интерполирования );
б) если – полином степени n, то (5.6) точная, т.к. .
Коэффициенты можно преобразовать к более удобному для практического применения форме. Для этого воспользуемся соотношением
. (5.7)
В результате применения (5.7) получим следующие выражения:
, dx = hdq = .
При имеем q = 0, а при будем иметь .
Затем, если введем обозначения (назывемыми коэффициентами Котеса) как:
, i = 0, 1, …, n, (5.8)
окончательно получаем:
= , (5.9)
которые не зависят от функции , а только от числа n точек разбиения.
На основе (5.9) получаем квадратурную формулу Ньютона – Котеса:
, (5.10)
дающих на одном участке интегрирования различные представления для различного числа n отрезков разбиения.
5.4. Метод трапеций.
При n = 1 из формулы (5.8) получаем (i = 0, 1):
= = , = .
Тогда по формуле (5.10) на отрезке [: ] получаем интеграл:
= ( – )=(+). (5.11)
Геометрическая интерпретация (5.11) дана на рис. 5.2.
Если последовательно соединять точки отрезками прямых, то график функции представится в виде ломаной, и площадь фигуры, ограниченной этой ломаной, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, будет складываться из суммы площадей элементарных прямолинейных трапеций с основаниями и боковыми сторонами и (i = 1, 2, …, n) (Рис. 6.2). С известным приближением можно считать, что определенный интеграл равен этой сумме, потому что при неограниченном увеличении числа точек деления и стремления к нулю всех элементов верхняя граница фигуры (ломаная) переходит в линию . (Получившуюся фигуру называют криволинейной трапецией, и площадь этой фигуры равен определенному интегралу.) Так как площади прямолинейных трапеций вычисляются как , то, складывая эти величины, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:
.
Рис. 5.2 Рис. 5.3
Важный частный случай применения этой формулы – численное интегрирование с постоянным шагом const (i = 1, 2, …, n):
.
Формула трапеций обладает преимуществом большой простоты и достаточно точна, если данные задачи приводятся с небольшим числом значащих цифр, но, как правило, точность метода трапеций ниже точности метода средних. Заметим также, что характер погрешностей формул прямоугольников и трапеций различен. Если учесть характер этих погрешностей, то можно получить уточненное значение интегралов.
Обозначим определенный интеграл, вычисленный с применением формулы прямоугольников через , а вычисленный по формуле трапеций – через . Тогда уточненная формула будет следующая:
. (1)
Результат применения этой формулы обычно имеет высокую точность (если сравнить результат вычисления определенного интеграла для берущейся подынтегральной функции с результатом вычисления определенного интеграла от этой же функции с использования формулы (1), часто с точностью до погрешностей округления результаты совпадают).