6. Структурная схема. Передаточные функции.

Структурная схема силовой части электропривода

7. Оценка устойчивости системы.

Рассмотрим три распространённых критерия устойчивости системы:

А) Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова.

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой амплитудно-фазовой частотной характеристике. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости.

Передаточная функция динамической системы T(s) может быть представлена в виде дроби

Устойчивость T(s) достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если T(s) получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией , тогда полюса передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции . Выражение называется характеристическим уравнением системы.

Формулировка критерия.

Пусть Г_s — замкнутый контур в комплексной плоскости, p — число полюсов F(s), охваченных контуром Г_s, а z — число нулей F(s), охваченных Г_s — то есть число полюсов T(s) охваченных Г_s. Получившийся контур в F(s)-плоскости, Г_F(s) должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку n раз, где n=z-p.

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией F(s) устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).

• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов F(s) вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов F(s) в правой полуплоскости.

• Количество дополнительных охватов (больше, чем n+p) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

Б) Критерий устойчивости Рауса.

Критерий устойчивости Рауса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса-Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста-Михайлова. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести ненаглядность метода, по нему сложно судить о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а U(s)=0 — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином U(s) в виде

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которой записываются коэффициенты характеристического полинома таким образом, что:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания

2. во второй строке — с нечётными

3. остальные элементы таблицы определяется по формуле:

, где

– номер строки, k – номер столбца

4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения

Таблица Рауса:

		k	1	2	3	4
	i
—	1					…
—	2					…
	3					…
	4					…
…	…		…	…	…	…

В) Критерий устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а U(s) — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином U(s) в виде

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица  по алгоритму:

1. по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до ;

2. от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3. на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица:

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара-Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.