3. Вероятностное пространство

1. Дать определение алгебры событий.

Алгебра событий(F) называется любая система подмножеств из Ω, которая удовлетворяет 3 условиям:

2. Дать определение случайного события.

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

3.Описать алгебру, порожденную событием.

Событие А различно и определяется конкретной задачей

4.Что такое тривиальная алгебра?

5.Что такое измеримое пространство?

Совокупность двух множеств - называется измерительным пространством.

6.Сформулировать аксиомы А.Н.Колмогорова

1) - аксиома неотрецательности;

2) аксиома нормированости;

3) ;

3а) пусть - попарно несовместные события,

- последовательность несовместных событий

4) - аксиома счетной адетивности

7.В чем смысл непротиворечивости и неполноты аксиом А.Н.Колмогорова?

Непротиворечивость заключается в том, что существуют реальные объекты, удовлетворяющие эти аксиомы.

Неполнота означает, что одному и тому же событию А можно приписать разную вероятность.

8.Что такое вероятностное пространство?

Совокупность объектов называется вероятностным пространством, которое полностью описывает случайный эксперимент.

9.Перечислить основные свойства вероятности

10.Как определяется классическая вероятность?

11. Когда можно использовать формулу классической вероятности?

При использовании формулы для подсчёта вероятностей важно следить за тем, чтобы все элементарные исходы опыта были равновозможными, иначе возможны ошибки.

12.Дать определение геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность — один из способов задания вероятности;

Пусть является несчетным и все его исходы равновозможны

,, L – длинна

12.Сформулировать условия применимости геометрической вероятности

Если в качестве мы рассматриваем плоскость, то , - мера длинны, площади или обьема

G – область соответствующая

g – область соответствующая А.

13.Чему равна вероятность невозможного события? Доказать.

Так как , то из следствия 1 вытекает, что

P() =1- P()=1 - 1 = 0.

14.Чему равна вероятность противоположного события? Доказать.

По определению противоположных событий АĀ = и АĀ =. По аксиоме III P( )=1. По аксиоме IV P(А + Ā) = P(A)+P(Ā). Из вышеперечисленного имеем P() = P(А + Ā) = P(A)+P( Ā ) = 1, следовательно, P( Ā )=1-P(A).

15.Чему равна вероятность суммы событий? Доказать.

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

16.Является ли невозможным событие, вероятность которого равна нулю? Обосновать ответ.

Нет, такое событие не является невозможным. Пример: событие, состоящее в том, что нормальнораспределенная случайная величина примет некоторое конкретное значение.

17.Как определить вероятность события для конечного пространства элементарных событий?