4. Условная вероятность

1.Как определяется условная вероятность?

Условной вероятностью p(В/А) называется вероятность события В, вычисленная при условии (в предположении), что событие А произошло.

2.Доказать, что условная вероятность неотрицательная.

3.Сформулировать и доказать свойство нормированности условной вероятности.

4.Сформулировать и доказать свойство аддитивности условной вероятности.

Если А и В – независимые.

5.Чему равна условная вероятность для несовместных событий? Обосновать ответ.

6.Как изменяется вероятностное пространство при введении условной вероятности?

Введение условной вероятности сужает вероятностное пространство.

7.Чему равна вероятность произведения двух событий?

8.Привести формулу умножения вероятностей для произвольного числа событий.

Пусть иметься события

9.Привести условие независимости двух событий.

1)

2)

10.Дать определение независимости произвольного числа событий.

-называются независимыми в совокупности при выполнении условия

,

11.Привести формулу сложения вероятностей для двух независимых событий.

Р(А)+Р(В)=Р(А+В)+Р(АВ)

12.Являются ли два несовместных события независимыми? Обосновать ответ.

если события несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0

АВ=0

Р(АВ)=0

Р(А) и Р(В) не равны нулю, значит

Р(А)*Р(В) не равно нулю, значит

Р(АВ) не равно Р(А)*Р(В) - не выполняется условие независимости

13.Привести формулу полной вероятности.

14.Привести формулу Байеса.

5. Независимые испытания

1.Что такое схема Бернулли?

Схемой Бернулли называется последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может осуществляться А или , причем вероятность успеха не уменьшается при испытании испытаний.

2.Привести пример последовательности испытаний, описываемых схемой Бернулли

Многократное бросание кости.

3. Какая основная задача решается при рассмотрении схемы Бернулли?

Задача нахождения вероятности того что в n испытаниях успех произойдет ровно k раз.

4. Как описывается элементарное событие в схеме Бернулли?

В первой скобке k-множителей, а во второй (n-k)- множителей.

5.Чему равна вероятность элементарного события в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

6.Записать формулу Бернулли.

7.Какое значение может принимать число успехов в схеме Бернулли?

Число К-успехов в n-испытаниях.

8.Что такое наиболее вероятное число в схеме Бернулли?

-наиболее вероятное число в схеме Бернулли.

9.Как найти наиболее вероятное число в схеме Бернулли?

10.Сколько значений может принимать наиболее вероятное число в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

единственное число k₀ = [np + p], если число np + p не целое;

два числа k₀ = np + p и k₀ -1= np + p -1, если число np + p целое.

11.Как найти минимальное число испытаний в схеме Бернулли, при котором успех осуществляется хотя бы один раз с заданной вероятностью?

,

12.Чему равна вероятность того, что успех в схеме Бернулли осуществится хотя бы один раз? Обосновать ответ

13.Как определяется полиномиальная схема?

Полиномиальная схема-обобщение схемы Бернулли. Полиномиальной схемой называется последовательность из n независимых испытаний в каждом из которых может произойти одно из событий причем вероятность этих событий не изменяется от испытания к испытанию.

14.Привести примеры последовательности испытаний, описываемых полиномиальной схемой.

Примером служит задача: В коробке 400 резисторов. 20 штук номиналом 1 Ом, 50 штук -5 Ом, 30 штук -10 Ом. Электрик берет не глядя 120 резисторов. Найти вероятность того что 2 номиналом 1 Ом, 7- номиналом 5 Ом и 3-номиналом 10 Ом.

15.Как описывается элементарное событие в полиномиальной схеме?

16.Чему равна вероятность элементарного события в полиномиальной схеме?

17.Записать полиномиальную формулу.