Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Shpargalka1

.docx
Скачиваний:
10
Добавлен:
17.03.2016
Размер:
794.31 Кб
Скачать

1. Матриці. Дії над матрицями. Види матриць.

2

3

Таблица чисел вида

,

обозначаемая кратко (i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n), состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. В частности, когда m = 1, n > 1, мы имеем однострочечную матрицу , которую называют матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, мы имеем одностолбовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица, в которой все элементы кроме главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, в которой все элементы на диагонали равны 1, называется единичной.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Например, матрица

1

есть квадратная матрица второго порядка, а матрица

есть квадратная матрица третьего порядка.

Матрицу для краткости будем обозначать одной буквой. Например, буквой A.

Две матрицы A и B называются равными (A = B), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны. Так, если

и ,

то A = B, если , , , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну строну от главной диагонали, равны нулю.

Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц A и B называется матрица C, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B. Символически будем записывать так: A + B = C.

Так, если

и ,

то их суммой называется матрица

Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается (0) или просто 0.

Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: A + 0 = A

AA = 0

Вычитание матриц. Разностью двух матриц A и B одинакового размера называется матрица C, такая, что

C + B = A.

Из этого определения следует, что элементы матрицы C равны разности соответствующих элементов матриц A и B.

Обозначается разность матриц A и B так: C = AB.

Матрица A = (–1)A называется обратной.

Разность матриц можно записать так: AB = A + (–1)B.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число называется матрица, элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы A.

Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

Умножение матриц. Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

, .

2. Визначники. Властивості визначників.

8

11

12

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка .

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице A, называется число, равное . Определитель обозначается символом (кратко ). Таким образом, . (1)

Элементы матрицы A называются элементами определителя , элементы образуют главную диагональ, а элементы – побочную.

Из равенства (1) видно, что для вычисления определителя второго порядка надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Величина определителя

  1. не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами,

  2. не меняется, если к элементам какой-либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число,

  3. меняет знак, если поменять местами его строки или столбцы,

    7

  1. увеличивается в раз, если элементы какого-либо его столбца или строки увеличить в раз, т.е. общий множитель, имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя,

  2. равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю,

  3. равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице A, называется число, равное

(2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», какие – со знаком «минус», полезно правило, называемое правилом треугольника.

Определение. Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент. Минор элемента определителя обозначается через .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор, взятый со знаком .

3. Обернена матриця. Матричні рівняння.

Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

, ,

где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле или ,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Примеры.

Найти матрицу обратную к , если .

Решение. Прежде всего, вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для существует обратная матрица.

Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .

Вычислим последовательно элементы :

, ,

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C = AB, элементы которой составляются следующим образом:

5

6

.

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

.

Матрица E называется единичной матрицей.

При умножении любой квадратной матрицы A второго порядка на матрицу E снова получится матрица A.

Если в матрице A сделать все строчки столбцами с тем же номером, то получим матрицу , называемую транспонированной к матрице A.

4

Элементарные преобразования матриц.

  1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

  2. Умножение всех элементов ряда на число отличное от нуля.

  3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрицы A и B называются эквивалентными, когда одна получается из другой путем элементарных преобразований. Эквивалентность двух матриц обозначается с помощью символа следования, т.е. .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, в которой на главной диагонали стоит 1, а все остальные элементы равны 0. такую матрицу называют канонической.

Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

, ,

где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле или ,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

14

9

10

, ,

, ,

,

13

,

.

С учётом полученного обратная к матрица имеет вид: .

Например, алгебраическим дополнением элемента определителя является определитель, взятый со знаком «минус». Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Следовательно, .

Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m = n – квадратная матрица.

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

(3)

Формула (3) называется разложением определителя по элементам первой строки.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Дополнительным минором элемента матрицы называется определитель матрицы n-го порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Определение. Минор -го порядка матрицы называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы порядка и выше, если они существуют, равны нулю.

4. Системи лінійних рівнянь. Правило Крамера.

16

Определение 2.3. Линейным уравнением называется уравнение вида

(2.1)

где и b числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение 2.4. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение 2.5. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(2.2)

15

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Определение 2.6. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения элементов j-го столбца

Сложив затем все уравнения, получим:

. (2.5)

Отметим, что (j-й столбец)

5. Ранг матриці. Правила обчислення. Теорема Кронекера-Капеллі.

20

Определение 4.1. Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Замечание. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

Определение 4.2. Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Примеры:

1. , r(A)=0.

2. . Матрица В содержит единственный ненулевой элемент - являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, r(B)=1.

3. . Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы С, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r(C)<3.

19

Для того, чтобы доказать, что r(C)=2, достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например, Значит, r(C)=2.

4. следовательно, r(E)=3.

Замечание. Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

  1. транспонирование

  2. умножение строки на ненулевое число

  3. перестановка строк

  4. прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число

  5. вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

6. Метод Гауса. Системи лінійних однорідних рівнянь.

24

Определение 2.3. Линейным уравнением называется уравнение вида

(2.1)

где и b числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение 2.4. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение 2.5. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(2.2)

23

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Определение 2.6. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

рассмотрим способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных: (2.3)

Пусть (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

7. Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність та незалежність векторів

287

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и – два свободных вектора (рис. а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор =, затем от точки А отложим вектор =. Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается + (рис. б).

277

Определение. Разностью двух векторов и называется третий вектор =–, сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если =–, то += (рис. г).

Назовем расширенной матрицей системы (2.2) матрицу вида

22

, а матрицей системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных.

Теорема 4.2 (теорема Кронекера-Капелли). Система (2.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

  1. Необходимость: пусть система (2.2) совместна и ее решение. Тогда

, (4.1) то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора.

21

Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

  1. Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации то эти числа будут решением системы (2.2), т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: .

18

Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: .

17

В этом случае, если все =0, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

  1. Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

  2. Если ==0, система имеет бесконечно много решений.

  3. Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Определение. Произведением (или ) вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||||, и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направлению вектора , если < 0.

307

Свойства:

  1. Если || , то =. Теорема коллинеарности.

  2. + = +. Переместительный закон.

297

Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

26

(2.4)

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2.4) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

25

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

8. Проекція вектора на вісь. Поняття базиса. Декартова система координат.

327

357

367

397

407

437

447

Определение 5. Проекцией вектора на ось l () называется длина его компоненты на ось l, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Если = 0, то полагают = 0.

Теорема 1. Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l: = .

Свойства:

1.

2.

Определение 5.10. Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор

317

плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, cбазис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

Свойства базиса:

  1. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

  2. Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.

  3. При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.

  4. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k.

9. Поділ відрізка в заданому відношенні. Скалярний добуток векторів: визначення, властивості, вираження в декартових координатах.

Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosφ . (5.4)

Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Свойства скалярного произведения:

1. ab = |a| праb.

Доказательство. По свойству проекции праb = |b| cosφ, следовательно, ab = |a| праb.

2. ab = 0 a b. 3. ab = ba .

4. (ka)b = k(ab). 5. (a + b)c = ac + bc .

6. a2 = aa = |a|2 , где а2 называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, (5.5)

то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 . (5.6)

Доказательство. Используя формулу (5.3), получим:

ab = (X1i + Y1j + Z1k)(X2i + Y2j + Z2k) .

Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:

ab = X1X2ii +Y1Y2jj + Z1Z2kk + X1Y2ij +X1Z2ik + Y1X2ji + Y1Z2jk + Z1X2ki + Z1Y2kj.

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому

ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .

8. cosφ = . (5.6)

Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.

Пример.

a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b :

ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.

10. Векторний добуток векторів: визначення, властивості, вираження в декартових координатах.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен к плоскости построенного на них параллелограмма) и направлен в такую строну, чтобы кратчайший поворот от к вокруг полученного вектора представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

.

Это свойство следует из определения векторного произведения.

Таким образом, векторное произведение не обладает переместительным свойством.

  1. ,

где – скаляр.

Свойство 2 непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

  1. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

.

  1. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору. Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору.

11.Мішаний добуток векторів: визначення, властивості, вираження в декартових координатах.

Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Обозначение: abc = [ab]c.

Свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,b и с компланарны, то [ab]c = 0.

Доказательство.

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов а и b, и, следовательно, [ab]c. Поэтому [ab]c = 0.

в) Если a,b,c не компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = S·|c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c =V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.

Следствие. [ab]c = a[bc].

377

387

337

347

417

427

457

467

Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk. (5.3)

Определение 5.12. Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Определение 5.13. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.

Свойства направляющих косинусов:

  1. X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.

  2. , , .

  3. cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

12. Пряма на площині.

487

517

527

557

567

597

607

Уравнением линии на плоскости xOy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y в каждой точке этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Обозначается или , где - некоторая функциональная зависимость.

Уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая пересекает ось Oy в точке B и образует с осью Ox угол ().

Возьмем на прямой произвольную точку M(x,y). Через точку M проведем прямую, параллельную Oy. Рассмотрим треугольник .

. Отсюда получим (1)

477

Формула (1) задает уравнение прямой.

Можно доказать, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (1). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению прямой с условным коэффициентом.

Частные случаи.

  1. b = 0, y = kx. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при острый угол, а при - тупой угол.

  2. , . y = b. Это уравнение прямой, параллельной оси Ox. Уравнение самой оси Ox имеет вид y = 0.

  3. , не существует. Вертикальные прямые не имеют углового коэффициента.

Формула уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Пусть прямая проходит через точку M(x,y), точка лежит на прямой, прямая образует с осью Ox угол отличный от прямого. Тогда

, где (2)

Уравнение пучка прямых: , где k – произвольное число.

Уравнение прямой, проходящей через две данных точки и .

(3)

13. Площина у просторі.

Уравнение плоскости в пространстве.

Уравнение = 0 определяет в пространстве некоторую поверхность.

Пусть дана точка М0 = (x0, y0, z0) и ненулевой вектор (A,B,C). Построим в декартовой системе координат плоскость, проходящую через точку М0, перпендикулярно к вектору (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Рассмотри произвольную точку этой плоскости. Так как вектор лежит на плоскости, то он перпендикулярен к вектору .

Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: .

Преобразуем в координатную форму:

(1)

Введя обозначение , уравнение (1) можно переписать в виде:

(2)

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.

Определение. Общее уравнение называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

Уравнение , где , , называется уравнением плоскости в «отрезках».

Виды неполных уравнений:

1) D = 0. Плоскость проходит через начало координат.

2) A = 0. Плоскость параллельно оси Ox (аналогично для других коэффициентов).

3) A = 0, B = 0. Плоскость параллельна координатной плоскости xOy.

4) A = 0, B = 0, С = 0. Плоскость представляет собой координатную плоскость.

14. Пряма у просторі.

Уравнение прямой в пространстве.

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

Каждое из уравнений системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны, то система (1) определяет прямую как линию пересечения этих плоскостей. Уравнения (1) называются общим уравнением прямой.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки

Каноническое уравнение прямой

где (х0; у0; z0) – точка прямой,

(k; l; m) – направляющий вектор.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

.

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

15. Взаємне розміщення двох прямих, площин, прямої і площини в просторі.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

. (8.14)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых,

(8.15)

- условие перпендикулярности прямых. (8.16)

Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью, определяемой общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

(8.17)

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

Al + Bm + Cn = 0, (8.18)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n. (8.19)

Уравнение прямой в отрезках: (4)

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение прямой 1-й степени с двумя переменными.

, (5)

в котором A и B не равны одновременно нулю, т.е. .

Случаи:

  1. . . Положив , , получим . Если в этом случае и , то мы получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

  2. Если , , то получим , т.е. прямую, проходящую через начало координат.

  3. Если , , то получим , т.е. прямую, параллельную оси Ox.

  4. Если , , то получим уравнение оси Ox.

  5. Если , , , то получим x = b.

497

Таким образом, при любых значениях коэффициентов A и B, одновременно не равных 0 и C уравнение (5) есть уравнение прямой на плоскости xOy. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых общее уравнение включает и случаи прямых, параллельных оси Oy.

537

547

577

587

617

627

Рассмотрим прямые, заданные общим уравнением прямой.

, .

Условие параллельности: .

Условие перпендикулярности:

.

.

507

Угол между плоскостями. Условия параллельности и

перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида:

A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n1={A1,B1,C1) и n2={A2,B2,C2). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α1 и α2 равен

(8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

16. Лінії другого порядку. Їх характеристики.

647

657

697

707

737

747

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F1F2, начало

координат – с серединой отрезка F1F2. Пусть длина этого

отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат

F1(-c, 0), F2(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и

сумма расстояний от нее до F1 и F2 равна 2а.

Тогда r1 + r2 = 2a, но

637

поэтому

Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса: (11.1)

Определение 11.3. Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)

Определение 11.4. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

Свойства эллипса:

    1. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

    2. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

Эксцентриситет эллипса e < 1.

Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r1 - r2| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы. (11.3)

Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Определение 11.7. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

17. Поверхні другого порядку.

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

- (12.1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

  1. Если λ1, λ2, λ3 – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а) (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б) (12.3)

уравнение задает точку в пространстве;

в) (12.4)

пустое множество.

  1. Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:

а) - каноническое уравнение однополостного гиперболоида, (12.5)

б) (12.6)

  • каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в) (12.7)

уравнение конуса второго порядка.

19. Множини, дії над ними. Відображення: ін’єкція, сюр’єкція, бієкція. Обернена функція. Точна верхня та нижня грані числової множини.

Множество – это совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

Множество может содержать конечное и бесконечное число объектов.

Пусть X и Y – два множества. Тогда между ними можно определить отношения:

  1. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают. X = Y.

  2. Если все элементы множества X содержатся в Y, то X целиком содержится в Y. X Y.

  3. Если ни один элемент X не содержится в Y, то и само X не содержится в Y. X Y.

  4. Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством.

  5. Суммой или объединением X и Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y (обладающих свойством множеств X и Y). X Y или X + Y.

  6. Пересечением множеств X и Y или их общей части является совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. X Y.

  7. Разностью множеств X и Y называется множеств, содержащее все элементы множества X, не содержащееся в Y.X \ Y.

Примечание. Когда говорят о множествах, используют символику – любой, – существует

. Операции с множествами.

  1. Включение множества А в множество В . При этом каждый элемент множества А является элементом множества В, и множество А называется подмножеством множества В. В частности, А=В, если все элементы множества А принадлежат множеству В и наоборот.

  2. Объединение множеств А и В - множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В.

  3. Пересечение множеств А и В - множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В.

  4. Разность множеств А и В (А\В) – множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Из элементарной математики известно, что совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R. На нем определены операции:

  1. Сложение: для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число a+b, называемое их суммой, причем выполняются следующие условия:

а) a+b=b+a

b) a+(b+c)=(a+b)+c

c) существует число 0 такое, что а+0для любого аR

Свойства гиперболы:

677

687

717

727

757

767

  1. Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

  2. Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

и .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

, (11.3`)

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

667

5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

поскольку Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px , (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы.

Величина р называется параметром параболы.

Свойства параболы:

  1. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

  2. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

d) противоположное число –а, для которого а+(-а)=0.

  1. Умножение: определено единственное число ab, называемое их произведением, такое, что выполняются следующие условия:

а) ab=ba

b) a(bc)=(ab)c

c) существует число 1 такое, что а·1=а

d) a0 существует обратное число 1/а, для которого а· 1/а = 1.

Связь сложения и умножения: (a + b)c = ac + bc.

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами:

  1. Упорядоченность - либо a < b, либо a > b. При этом

а) если a < b и b < c, то a < c.

b) если a < b, то с a + c < b + c.

c) если a < b и с > 0, то ac < bc.

  1. Непрерывность – для любых непустых множеств Х и Y таких, что и

Подмножества множества R называют числовыми множествами.

Примеры числовых множеств:

  1. Множество натуральных чисел N (1,2,3,…).

  2. Множество целых чисел Z (

  3. Множество рациональных чисел Q (числа вида m/n, где m и n – целые).

Определение 13.4. Если у=F(u) является функцией от u, a u=φ(x) – функцией от х, то

у = F[φ(x)]

называется сложной функцией или функцией от функции.

Основные элементарные функции.

    1. Степенная функция у = хα,

    2. Показательная функция у = ах, a > 0, a1.

    3. Логарифмическая функция y=logax, a > 0, a1.

    4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x.

    5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x.

Определение 13.5. Элементарной функцией y = f(x) называется функция, заданная с помощью основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.

Определение 13.6. Если для функции у = f(х) можно определить функцию х = g), ставящую в соответствие каждому значению функции у = f(x) значение ее аргумента х, то функция у = g(x) называется обратной функцией к у = f(x) и обозначается y = f –1(x).

  1. Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):

а) (12.8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б) (12.9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в) - эллиптический цилиндр, (12.10)

г) - гиперболический цилиндр. (12.11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) . (12.12)

  1. Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:

а) - параболический цилиндр, (12.13)

б) - пара параллельных плоскостей, (12.14)

в) - пустое множество.

18. Комплексні числа. Операції над комплексними числами. Модуль та аргумент. Формула Муавра.

787

797

807

857

867

897

907

Комплексным числом z называется выражение вида z = x + iy, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, т.е. i2 = -1.

Если x = 0, то число 0 + iy называется чисто мнимым.

Если y = 0, то число x + i0 отождествляется с действительным числом x, а это означает, что множество всех действительных чисел R является подмножеством всех комплексных чисел C.

z = x + iy = 0, когда x = y = 0. Понятие больше и меньше для комплексных чисел не вводится.

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, а y называется мнимой частью числа z и обозначается y = Im z.

Два комплексных числа и называются равными если: и .

Два комплексных числа и называются сопряженными.

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число .

777

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости Oxy следующим образом: x = Re z, y = Im z.

На оси Ox расположены действительные числа, поэтому она называется действительной осью. На оси Oy расположены чисто мнимые числа, поэтому она называется мнимой осью.

Удобной является интерпретация комплексного числа как радиуса-вектора

Длина вектора называется модулем комплексного числа .

Угол между действительной осью и вектором называется аргументом комплексного числа Arg z =. Аргумент считается положительным или отрицательным в зависимости от того, ведется ли его отсчет от положительного направления действительной оси против или по часовой стрелке соответственно.

По заданной точке z ее модуль определяется единственным образом, а аргумент – с точностью до слагаемого , k = 0, 1, 2 и т.д. Значение аргумента , удовлетворяющее условию называется главным и обозначается arg z.

В точке z = 0 аргумент не определен.

Таким образом, Arg z = arg z + .

Запись комплексного числа z в виде (1) называется алгебраической формой комплексного числа.

2. Положение комплексного числа на плоскости удобно представлять в полярных координатах.

Модуль r и аргумент комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число .

Тогда , ,

(2)

Такая запись называется триганометричекой записью комплексного числа.

, , , .

Так как = Arg z = arg z + , то , поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к триганометрической достаточно определить .

3. Используя формулу Эйлера комплексное число можно записать в так называемой показательной (экспоненциальной) форме

, (3)

где - модуль комплексного числа, а = Arg z = arg z + - аргумент.

В силу формулы Эйлера функция - периодическая с основным периодом .

1. Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число

(1)

Свойства:

1) - переместительное.

2) - сочетательное.

2. Разность комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется

20. Числова послідовність та її границя. Властивості границь.

Числовые последовательности представляют собой бесконечные упорядоченные множества чисел.

Если каждому числу n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью.

Числа называются элементами (членами) последовательности. Символ называется общим элементом (членом) последовательности, а число n – его номером.

Числовая последовательность обозначается {}.

Геометрически числовые последовательности вещественных чисел изображаются на оси в виде точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности.

Последовательность вещественных чисел {} называется ограниченной сверху, если существует такое число M, что любое этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность вещественных чисел {} называется ограниченной снизу, если существует такое число M, что любое этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность {} ограничена, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа m и M, что для любого этой последовательности верно неравенство .

Пусть , то для любого .

Последовательность {} – неограничена, если для любого A существует , при котором .

Предел последовательности.

Число a называется пределом {}, если для любого существует такая зависимость , что при любых выполняется неравенство:

(1)

Если предел последовательности равен числу a, это записывается так:

Числовая последовательность {} называется бесконечно большой, если для любого n > 0 существует такой номер , что .

Очевидно, что бесконечно большая последовательность является неограниченной.

21. Монотонні послідовності. Число e.

Монотонные последовательности.

(1)возрастающая строго монотонная

(2)неубывающая строго монотонная

(3)убывающая

(4)невозрастающая

Числовая последовательность {} называется возрастающей, если при любом n выполняется условие (1), неубывающей при выполнении условия (2), убывающей при выполнении условия (3), невозрастающей при выполнении условия (4).

Монотонная ограниченная

комплексное число z, которое, будучи сложенное с , дает .

827

837

847

877

887

917

927

(2)

Геометрически вычитание комплексных чисел производится как и векторов.

Модуль разности двух комплексных чисел равен:

3. Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

(3)

Свойства:

  1. - переместительное.

  2. - сочетательное.

  3. - распределительное.

817

Если числа заданы в тригонометрической форме и , тогда произведение будет равно

(4)

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Возведение в степень

(5)

Эта формула называется формулой Муавра.

4. Деление комплексных чисел

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на число , дает .

(6)

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем

Для триганометрической формы записи комплексных чисел формула деления имеет вид:

(7)

При делении комплексных чисел их модули соответственно делятся, а аргументы соответственно вычитаются.

5. Извлечение корней из комплексных чисел

- формула Муавра.

Пусть , где .

Тогда на основании формулы Муавра имеем

Отсюда

, (k = 0, 1, 2 и т.д.)

Следовательно, , .

Таким образом, окончательно

, (8)

где (k = 0, 1, 2, …, n-1).

Числовая последовательность {} называется бесконечно малой, если для любого существует такая зависимость , что при , выполняется .

Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

  1. Суммой или разностью двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малая последовательность.

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

  1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

  1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.

Сходящиеся последовательности.

Числовая последовательность {} называется сходящейся, если существует такое число a, что для любого все находящиеся в окрестности элементы этой последовательности начиная с некоторого номера меньше a.

Таким образом, последовательность, имеющая конечный предел, является сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, является расходящейся.

Следствия.

  1. Бесконечно большая последовательность не имеет предела.

  2. Всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом a = 0.

  3. Предел последовательности, у которой все члены равны числу C, где C – константа, равен C.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

  1. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то предел этой последовательности – C.

  2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

  3. Предел суммы двух или нескольких сходящихся последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.

  4. Предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению пределов.

  5. Предел частного сходящихся последовательностей равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Монотонные последовательности.

(1)возрастающая строго монотонная

(2)неубывающая строго монотонная

(3)убывающая

(4)невозрастающая

Числовая последовательность {} называется возрастающей, если при любом n выполняется условие (1), неубывающей при выполнении условия (2), убывающей при выполнении условия (3), невозрастающей при выполнении условия (4).

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]