5. Аналитическое сглаживание динамических рядов. Особенности решения задачи. Обзор трендовых моделей. Сводные статистические отчеты и графики сглаживания.

Основной целью статистического анализа динамических рядов является аналитическое описание тенденции развития уровня ряда и получения на основной построенной модели прогнозов на будущие периоды.

Основным способом аналитического описания является построение тренда.

Тренд – это вид регрессионной модели характеризующий зависимость между уровнем ряда и так называемом временным фактором.

y_t=f(t) ,

где t – временный фактор

Уровни тренда в соответствии с корреляционно-регрессионным анализом представляют собой условную среднюю величину для совокупности возможных значений уровней динамического ряда.

Тренд представляет собой функцию количественный параметр которой определяется по так называемому методу наименьших квадратов.

Основная задача состоит в том, чтобы подобрать трендовую модель наиболее точно описывающую общую тенденцию развития динамического ряда. Следовательно, модель будет оптимальной, если будут отсутствовать области расхождения.

В данном курсовом проекте мы рассматриваем прогнозирование на один период вперед, а для качества прогноза сократим число уровней и рассматриваем период с 1983-1996 года..

Весьма распространенным приемом выявления формы тренда является графическое изображение временного ряда. Но при этом весьма велико влияние субъективного фактора, даже при отображении выровненных уровней.

Наиболее надежные методы выбора уравнения тренда основаны на свойствах различных кривых, применяемых при аналитическом выравнивании. Такой подход позволяет увязать тип тренда с теми или иными качественными свойствами развития явления.

Рассмотрим основные типы уравнений тренда:

Линейная форма тренда:

,

где - уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой;

- начальный уровень тренда;

- средний абсолютный прирост; константа тренда.

Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.

Параболическая форма тренда (полином):

,

Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.

Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если < 0 и > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и < 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t.

Логарифмическая форма тренда:

,

где - константа тренда.

Логарифмическим трендом может быть описана тенденция, проявляющаяся в замедлении роста уровней ряда динамики при отсутствии предельно возможного значения. При достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии.

Логарифмическая кривая на практике используется в некоторых демографических прогнозах, а также для изучения динамики степени удовлетворения спроса на определенные потребительские товары, для оценки тенденции развития производства продуктов потребления.

Определение численных значений параметров кривой.

После того, как выявлен тип тренда, необходимо определить количественное значение параметров уравнения кривой.

Оценка параметров может быть осуществлена различными способами, среди которых:

• метод наименьших квадратов (МНК);

• метод наименьших расстояний;

• метод избранных точек.

Чаще всего на практике используют МНК. Метод позволяет рассчитать значение параметров, при которых обеспечивается наименьшая сумма квадратов отклонений фактических уровней от сглаженных, т. е. полученных в результате аналитического выравнивания.

Математический аппарат метода наименьших квадратов описан в большинстве работ по математической статистике, поэтому нет необходимости подробно на нем останавливаться. Отметим только, что для нахождения параметров прямой необходимо решить систему уравнений:

Очевидно, что перенос начала координат имеет смысл только при ручной обработке динамического ряда.

Если , то , .

В общем виде систему уравнений для нахождения параметров полинома можно записать как

Рис. 6 График линейного тренда по импорту

Рис. 7 График логарифмического тренда по импотру

Рис. 8 График полиномиального тренда второй степени по импорту

Рис. 9 график полиномиального тренда третей степени по импорту

Рис. 10 Графих степенного тренда по импорту

Рис. 11 График экспонинцеального тренда по импорту

Рис. 12 График линейнго тренда по экспорту

Рис. 13 График логарифмического тренда по экспорту

Рис. 14 График полиномиального тренда второй степени по экспорту

Рис. 15 График полиномиального тренда третей степени по экспорту

Рис. 16 График степенного тренда по экспорту

Рис. 17 График экспонинцеального тренда по экспорту

6. Выбор оптимального тренда. Стандартная ошибка тренда, оценка значимости параметров модели тренда, проверка на нормальность. Проверка адекватности выбора модели тренда по критерию Фишера. Коэффициент детерминации. Подробный анализ на примере оптимального тренда.

В практике исследования социально-экономических явлений исключительно редко встречаются динамические ряды, показатели которых полностью соответствуют признакам эталонных математических функций. Это обусловлено значительным числом факторов разного характера, влияющих на уровни ряда и тенденцию их изменения.

Поэтому чаще всего строят целый ряд функций, описывающих тренд, а затем выбирают лучшую на основе сопоставления величин среднеквадратической ошибки или через оценку надежности уравнений регрессии по F – критерию Фишера.

Среднеквадратическая ошибка рассчитывается по следующей формуле:

,

где - фактические уровни ряда динамики;

- уровни ряда, определенные по уравнению тренда;

n - число уровней ряда;

p - число параметров в уравнении тренда.

Логично предположить, что лучшей будет функция, которой соответствует минимальное значение среднеквадратической ошибки.

Второй подход к оценке функций, описывающих тренд, основан на сопоставлении дисперсий. Известно, что общую вариацию временного ряда можно разложить на вариацию, обусловленную основной тенденцией, и на случайную вариацию, т. е. вариацию вокруг тренда, вызванную случайными факторами.

Факторная дисперсия определяется по следующей формуле:

,

где n - число уровней ряда.

Остаточная дисперсия:

Общая дисперсия, следовательно, равна сумме факторной и остаточной дисперсии:

При расчете F – критерия должно быть учтено число степеней свободы. Поскольку критерий Фишера основан на соотношении факторной и остаточной дисперсий, то они должны быть приведены к одной степени свободы.

Число степеней свободы для факторной дисперсии: р-1, где р – число параметров уравнения тренда.

Число степеней свободы для остаточной дисперсии n-р.

Фактическое значение F–критерия определяется по следующей формуле:

Фактическая величина критерия сравнивается с его теоретическим (табличным) значением исходя из соответствующего числа степеней свободы и заданного уровня значимости. Если

F_факт.> F_теор.,

то можно считать, что данная модель тренда адекватна реальной тенденции исследуемого временного ряда.

Как уже отмечалось, проблема выбора формы кривой — одна из основных проблем, с которой сталкиваются при выравнивании ряда динамики. Решение этой проблемы во многом определяет результаты экстраполяции тренда. Вероятно, самым обоснованным подходом к решению проблемы был бы подход, при котором форма кривой определялась бы путем анализа изучаемого процесса развития по существу, анализа, охватывающего его внутреннюю логику, специфику и взаимосвязь с другими процессами и окружающими условиями. Однако, как правило, такой анализ в лучшем случае может вскрыть характер динамики лишь в самых общих чертах (например, движение равномерное, равноускоренное, с затуханием роста и т. д.). Чаще всего исследователь не имеет какой-либо основы для того, чтобы сформулировать общую характеристику динамики процесса с той степенью детализации, которая нужна для выбора кривой, не прибегая к анализу самих данных наблюдения. Хотя содержательный анализ и не является практическим инструментом при выборе формы кривой, он тем не менее обязательно предшествует и сопутствует эмпирическому подходу. Во всяком случае при оценке степени пригодности той или иной кривой для описания тренда последнее слово остается за ним.

Существует несколько практических подходов, которые позволяют более или менее удовлетворительно выбрать адекватную действительной динамике форму кривой.

Наиболее простой путь — визуальный. В этом случае выбор формы тренда осуществляется на основе графического изображения ряда динамики. Риск субъективного и произвольного выбора здесь очень велик. Разные исследователи на основе одного и того же графика могут прийти к разным выводам относительно адекватной формы кривой. К тому же результат выбора в значительной мере зависит от принятого масштаба графического изображения. Вместе с тем при относительно простой конфигурации тенденций развития визуальный подход дает вполне приемлемые результаты.

Второй путь, на который обычно указывают в статистической литературе, заключается в применении метода последовательных разностей. Этот метод основывается, во-первых, на предположении о том, что уровень ряда может быть представлен как сумма двух компонент:

,

где  структурная (систематическая);

 случайная компоненты.

Второй постулат этого метода сводится к тому, что последовательные разности величин стремятся к некоторому пределу. Предполагается, что на некотором этапе расчета, мы получили разности, которые будут представлять собой независимые случайные величины с одинаковой дисперсией. Сказанное можно проиллюстрировать следующим. Пусть тренд строго следует графику полинома -й степени. Разности ординат -го порядка тогда, равны, а разности (+1)-го порядка - равны нулю.

Отсюда примерное равенство последовательных разностей уровней ряда рассматривается как симптом того, что y_t следует в своем развитии полиному, соответствующей степени.

Соответственно этому методу рекомендуется исчислять первые, вторые и т. д. разности уровней ряда, т. е.:

и т.д.

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными друг другу. Порядок разностей принимается за степень, выравнивающего полинома. Так, если. примерно близкими оказываются первые разности, то для выравнивания берется полином первой степени, если примерно одну и ту же величину имеют вторые-разности, то берется полином второй степени и т. д. Однако такой подход далеко не универсален, он возможен при подборе только кривых, описываемых многочленами. К тому же его предпосылки могут и не быть адекватными рассматриваемому реальному процессу.

К выбору формы кривой можно подойти и иначе. Например, часто его осуществляют исходя из значения принятого критерия. Обычно в качестве критерия принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, полученных выравниванием. Из совокупности кривых выбирается та кривая, которой соответствует минимальное значение критерия. При этом оказывается, что чем меньше значение критерия, тем ближе примыкают к кривой данные наблюдений и кривая по предположению лучше описывает тенденцию развития. Однако в этом случае фактически нет обоснований того, что именно этот критерий дает наилучшее решение при выравнивании экономических динамических рядов. Такой подход к решению проблемы существует скорее в силу традиции и молчаливой договоренности, чем в связи с его научной обоснованностью. По-видимому, для этих же целей можно применить и иные критерии.

Следует также добавить, что, ориентируясь, лишь на тот или иной критерий, трудно выбрать кривую, которая бы более или менее адекватно отражала тенденцию изменения. В самом деле, возьмем в качестве примера многочлены.

Вообще говоря, к ряду, состоящему из т точек, можно так подобрать по крайней мере один многочлен (степени т – 1), что соответствующая кривая будет проходить через все т точек. Кроме того, существует множество многочленов с более высокими степенями, которые также проходят через эти точки.

В любом из случаев, когда кривая проходит через все точки, сумма квадратов отклонений будет, естественно, равна нулю. Таким образом, формально это будет “наилучшая” кривая, и она, действительно, наиболее точно описывает фактическую динамику развития явления в прошлом. Однако вряд ли правомерно говорить в этом случае о выделении тенденции и тем более о применении ее для прогнозирования.

Применение критерия для выбора формы кривой, по-видимому, даст практически пригодные результаты в том случае, если отбор будет проходить в два этапа. На первом этапе отбираются зависимости, пригодные с позиции содержательного подхода к задаче, в результате чего происходит ограничение круга потенциально приемлемых функций. На втором этапе для этих функций подсчитываются значения критерия и выбирается та из кривых, которой соответствует минимальное его значение.

Таблица 6

Матрица выбора оптимального тренда по экспорту

№	Модель тренда	Уравнение тренда	Sy	R	a	b	c	d
1	линейная	yt = a + bt	294,366	0,879491	0,574399	1,38821E-11
2	полином 2-ой степени	yt = a + bt + ct2	213,2943	0,939605	0,006111	0,808821849	0,000166
3	полином 3-ой степени	yt = a + bt + ct2 + dt3	165,7507	0,965265	0,958388	0,002575816	0,009684	0,001013
4	логарифмическая	yt = a + bln(t)	505,4132	0,644747	0,101096	2,33091E-06
5	степенная	yt = atb	391,6083	0,980179	1,144911	0,065693033
6	экспоненциальная	yt =aebt	181,5698	0,997897	4,359083	0,01738267

Таблица 7

Матрица выбора оптимального тренда по импорту

№	Модель тренда	Уравнение тренда	Sy	R	a	b	c	d
1	линейная	yt = a + bt	284,1675	0,869364	0,572333	3,39013E-11
2	полином 2-ой степени	yt = a + bt + ct2	217,3343	0,92706	0,013807	0,872148487	0,000542
3	полином 3-ой степени	yt = a + bt + ct2 + dt3	178,9774	0,952889	0,900831	0,007180435	0,022033	0,003484
4	логарифмическая	yt = a + bln(t)	474,1702	0,636266	0,105432	3,03921E-06
5	степенная	yt = atb	373,7948	0,978431	1,098604	0,0687771
6	экспоненциальная	yt = aebt	189,7063	0,997304	3,788682	0,016742851

По нашим расчетам и по экспорту и по импорту оптимальным трендом получился полином третей степени.