12. Производная сложной функции.

Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

13. Производная обратной функции

Пусть фун-ия дифференцируема и строго монотонна на (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая фун-ия, котор. называют обратной к , а её производная вычисляется по формуле

14 . Таблица производных

Производной функции y=f(x) в точке x₀ (обозначается y'(x₀) или f’(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:

15. Производные высших порядков Производной порядка высшего порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.

Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной фун-ии.

16.теорема Ферма

Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x₀∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x₀)=0.

17.Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.

18. Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

19. теорема Коши

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).

20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

1. Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=0, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(0/0)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f'(x)=lim_xx0φ’(x)=0, то lim_xx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=lim_xx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.

2. Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.

21. Формула тейлора,

где - остаточный член формулы Тейлора: