- •1. Понятие логического высказывания. Элементарное и сложное высказывание. Логические выражения (формулы) и логические операции. Диаграммы Венна.
- •2. Представление логических выражений в дизьюнктивной (коньюнктивной) нормальной форме. Теорема Шеннона и принцип двойственности.
- •3. Логические законы (тавтологии).
- •4.Множества и подмножества.Универсально множество.Основные определения и свойства.Мощность множества,степень множества.
- •5 Операции над множествами, их свойства. Связь с логическими законами.
- •6.Описание числовых множеств на плоскости.Диаграммы Эйлера.
- •10.Понятие функции как специального вида отношений. Инъекцивная, сюрьективная, биективная функции
- •8. Бинарные отношения. Основные определения и способы задания отношений. Обратное отношение. Композиция отношений.
- •7.Кортеж, прямое произведение множеств. Понятие графика и свойства графиков.
- •11. Алгебраические системы. Алгебра множеств и булева алгебра.
- •22. Элементы цикломатики. Фундаментальная система циклов, цикломатическое и коциклическое число.
- •13.Понятие изоморфизма графов. Основные инварианты графа. Теорема Эйлера о степенях вершин. Подграфы и операции над графами.
- •24. Гамильтоновы графы. Достаточные условия существования гамильтонова цикла.
- •15. Вершинная и реберная связность графа. Мосты, блоки, точки сочленения. Разделяющие множества и разрезы. Теорема Менгера в вершинной и реберной форме
- •16. Двудольные графы и паросочетания. Свойства двудольных графов. Теорема Холла о совершенном паросочетании.
- •17. Неориентированные (свободные) и ориентированные (корневые) деревья. Свойства деревьев.
- •19. Способы представления деревьев в эвм. Упорядоченные и бинарные деревья, их свойства.
- •20.Поиск кратчайших путей на взвешенных графах. Алгоритм Форда-Беллмана и алгоритм Дейкстры.
- •21. Сети и потоки в сетях. Топологическая сортировка сети. Определение потока. Теорема Форда-Фалкерсона.
- •25. Задача коммивояжера. Решение задачи методом ветвей и границ.
- •27. Задача о раскраске графа. Понятие хроматического числа, его связь с валентностью вершин. Примеры графов с известным хроматическим числом. Теорема о раскраске планарных графов
- •23. Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе.
10.Понятие функции как специального вида отношений. Инъекцивная, сюрьективная, биективная функции
функцией называется отношение f из A в B, такое, что
a A (a,b) f & (a,c) f b=c.
Обозначают это f : A B или , или b=f(a), a называют аргументом.
Пример. Если X,Y – множества всех действительных чисел, то неравенство yx является отношением, а y=x – функцией. Пусть теперь X=[-1,1], Y=[-1,1] и f : X Y. В соответствии с данным определением y=x – это функция, а |y|=|x| - отношение.
Функции в дискретной математике обычно рассматривают на дискретных и/или ограниченных множествах.
Пусть f : A B и A1 A, B1 B. Множество F(A1) B называется образом множества A1, а множество F-1(B1) A – прообразом множества B1. То есть
F(A1)={bB| a A1 : b=f(a)},
F-1(B1)= {aA| b B1 : b=f(a)}.
F является отношением из множества B(fA) в множество B(fB). При этом справедлива следующая теорема:
Если f : A B – функция, то F : B(fA) B(fB) и F-1 : B(fB) B(fA) – тоже функции.
F называют индуцированной функцией на множестве B(fA), а F-1 – переходом к прообразам.
Для функции как отношения справедливы все понятия и свойства отношений, которые мы рассматривали ранее. Композиции функций соответствует понятие суперпозиции в классической математике.
Всякая функция, будучи отношением, имеет ядро. Оно обозначается как
ker f = f o f--1.
Ядро функции является отношением эквивалентности на множестве ее аргументов.
В чем же принципиальная разница в понятиях отношения и функции с точки зрения приложений в информатике? Хотя бы уже в том, что способ задания отношений и функций различен. Отношения мы должны задавать таблицей или графом, а функцию можно задать списком аргументов и соответствующих этим аргументам значений функции.
Но для того чтобы задать функцию, а потом и работать с ней, надо ввести еще некоторые понятия и свойства, которые также имеют значение для предстоящей работы, например, при организации баз данных.
Область определения функции: fA={aA| bB : b=f(a)}.
Область изменения функции: fB={bB| aA : b=f(a)}.
Если A= fA, то функцию называют тотальной, если A fA – частичной.
Пример. Пусть теперь X=[-1,1], Y=[0,1] и f : X Y. Заметим, что в этом случае и y=x и |y|=|x| - функции. Но y=x – это частичная функция, а |y|=|x| - тотальная функция.
Вообще любому отношению можно сопоставить тотальную функцию
.
Такая функция называется характеристической. Именно с помощью характеристической функции мы записываем отношение в виде бинарной матрицы.
Функцию от n аргументов называют n-местной.
Инъекция, сюрьекция, биекция.
Функция f : A B называется инъективной или инъекцией, если разным значениям функции соответствуют разные аргументы. То есть b=f(a1) & b=f(a2) a1= a2.
Пример. Пусть X=[-1,1], Y=[-1,1] и f : X Y. В соответствии с данным определением y=x – это инъекция, а y=|x| - нет.
Функция f : A B называется сюръективной или сюръекцией, если область ее изменения совпадает со всем множеством B.
bB aA | b=f(a).
Пример. Пусть X=[-1,1], Y=[-1,1] и f : X Y. В соответствии с данным определением y=x – это сюръекция, а y=|x| - нет.
Функция f : A B называется биективной или биекцией, если она инъективна и сюръективна.
В только что рассмотренном примере y=x – это биекция, а y=|x| - нет.