Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1_2_Vosstanovlen.docx
Скачиваний:
44
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
520.19 Кб
Скачать

10.Понятие функции как специального вида отношений. Инъекцивная, сюрьективная, биективная функции

функцией называется отношение f из A в B, такое, что

a A (a,b)  f & (a,c)  fb=c.

Обозначают это f : A  B или , или b=f(a), a называют аргументом.

Пример. Если X,Y – множества всех действительных чисел, то неравенство yx является отношением, а y=x – функцией. Пусть теперь X=[-1,1], Y=[-1,1] и f : X  Y. В соответствии с данным определением y=x – это функция, а |y|=|x| - отношение.

Функции в дискретной математике обычно рассматривают на дискретных и/или ограниченных множествах.

Пусть f : A  B и A1  A, B1  B. Множество F(A1)  B называется образом множества A1, а множество F-1(B1)  A – прообразом множества B1. То есть

F(A1)={bB| a A1 : b=f(a)},

F-1(B1)= {aA| b B1 : b=f(a)}.

F является отношением из множества B(fA) в множество B(fB). При этом справедлива следующая теорема:

Если f : A  B – функция, то F : B(fA)  B(fB) и F-1 : B(fB)  B(fA) – тоже функции.

F называют индуцированной функцией на множестве B(fA), а F-1переходом к прообразам.

Для функции как отношения справедливы все понятия и свойства отношений, которые мы рассматривали ранее. Композиции функций соответствует понятие суперпозиции в классической математике.

Всякая функция, будучи отношением, имеет ядро. Оно обозначается как

ker f = f o f--1.

Ядро функции является отношением эквивалентности на множестве ее аргументов.

В чем же принципиальная разница в понятиях отношения и функции с точки зрения приложений в информатике? Хотя бы уже в том, что способ задания отношений и функций различен. Отношения мы должны задавать таблицей или графом, а функцию можно задать списком аргументов и соответствующих этим аргументам значений функции.

Но для того чтобы задать функцию, а потом и работать с ней, надо ввести еще некоторые понятия и свойства, которые также имеют значение для предстоящей работы, например, при организации баз данных.

Область определения функции: fA={aA| bB : b=f(a)}.

Область изменения функции: fB={bB| aA : b=f(a)}.

Если A= fA, то функцию называют тотальной, если A fAчастичной.

Пример. Пусть теперь X=[-1,1], Y=[0,1] и f : X  Y. Заметим, что в этом случае и y=x и |y|=|x| - функции. Но y=x – это частичная функция, а |y|=|x| - тотальная функция.

Вообще любому отношению можно сопоставить тотальную функцию

.

Такая функция называется характеристической. Именно с помощью характеристической функции мы записываем отношение в виде бинарной матрицы.

Функцию от n аргументов называют n-местной.

Инъекция, сюрьекция, биекция.

Функция f : A  B называется инъективной или инъекцией, если разным значениям функции соответствуют разные аргументы. То есть b=f(a1) & b=f(a2)  a1= a2.

Пример. Пусть X=[-1,1], Y=[-1,1] и f : X  Y. В соответствии с данным определением y=x – это инъекция, а y=|x| - нет.

Функция f : A  B называется сюръективной или сюръекцией, если область ее изменения совпадает со всем множеством B.

bB  aA | b=f(a).

Пример. Пусть X=[-1,1], Y=[-1,1] и f : X  Y. В соответствии с данным определением y=x – это сюръекция, а y=|x| - нет.

Функция f : A  B называется биективной или биекцией, если она инъективна и сюръективна.

В только что рассмотренном примере y=x – это биекция, а y=|x| - нет.