5 Операции над множествами, их свойства. Связь с логическими законами.

Операции над множествами.

Операции над множествами подразумевают то или иное комбинирование элементов этих множеств. Поэтому операции можно выполнять только над множествами объектов, которые принадлежат одному и тому же универсуму: AU, BU.

На конечном универсуме U, состоящем из элементов x, мы можем создать 2^|U| различных множеств, включая сам универсум и пустое множество .

Объединение множеств AB есть множество элементов x, принадлежащих либо A, либо B: AB={x|xAxB}.

Пересечение множеств AB есть множество элементов x, принадлежащих одновременно A и B: AB={x|xA&xB}.

Разность множеств A\B есть множество элементов x, принадлежащих A, но не принадлежащих B: A\B={x|xA&xB}.

Симметрическая разность множеств AB есть множество элементов x, принадлежащих либо A, либо B, но не принадлежащих A и B одновременно: AB= (AB)\(AB)={x|(xA&xBxB& xA}.

Дополнением множества A называется множество ={x|xA}. Дополнение рассматривается относительно универсума:

Любой последовательности операций над множествами можно сопоставить логическую формулу, где логическими переменными являются предикаты принадлежности элементов множествам. Этот способ выполнения операций над множествами иногда называют методом характеристических функций [2].

Связь с логическими операциями.

AB={x|xAxB}={x|ab}  дизъюнкция: ab.

AB={x|xA&xB}={x|a&b}  конъюнкция ab.

A\B={x|xA&xB}= разность:

AB= (AB)\(AB)={x|(xA&xBxB& xA}= сложение по модулю 2:

={x|xA}=  отрицание: .

Свойства операций над множествами.

Введем обозначения: a=«xA», b=«xB» и рассмотрим последовательно все логические законы.

1. Закон отрицания отрицания: . Согласно нашим обозначениям, = «xA», а мы знаем, что - дополнение множества A до универсума: . Тогда Отсюда . Это свойство операции над множествами иногда называют инволютивностью [1].

2. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций над множествами вытекают из соображения, что предикаты принадлежности, через которые мы определяем эти операции, не задают никакого правила расположения элементов внутри самих множеств. Следовательно, «xAxB»«xBxA»  AB=BA (коммутативность объединения). Аналогичные рассуждения можно провести и для двух других операций.

3. Закон нуля и единицы: ={x|xA&xA}={x|}=, поскольку выражение является противоречием. ={x|xAxA}={x|}=U, поскольку - тождество. AU=U, AU=U , так как AU., так как.

4. Законы де Моргана. Покажем, что . Пусть Q={x|x}. Это означает, что xAB. Значит, либо xA, либо xB. Перейдем к записи этого условия через предикаты принадлежности и получим: С другой стороны, в соответствии с записью операции пересечения через предикаты принадлежности, имеем: То есть, откуда и получаем . Точно так же можно показать, что .

5. Законы поглощения. A(AB)={x|xA(xA&xB)}, а поскольку Q={x|xA&xB}A, то множество A можно рассматривать по отношению к Q как универсум. Используя закон нуля и единицы, имеем: AQ=A. Следовательно, A(AB)=A. Аналогично можно получить, что A(AB)=A.

6. Законы склеивания. . Воспользуемся дистрибутивным законом: . Применив к левой скобке в операции объединения закон поглощения, а к правой – еще раз дистрибутивный закон, а затем закон нуля и единицы, имеем: . Еще раз применяем закон поглощения и получаем Q=A. В качестве упражнения, покажите самостоятельно, что .

Пример 1. Найти результат следующих операций над множествами A,B,C:

Q=((AB)(BC))\(AC).

Введем обозначения: a=«xA», b=«xB», с=«xС» и запишем данное выражение в предикатной форме:

Q={x|((ab)bc)-ac}.

Выполним преобразования над логическим условием, используя представление логических операций через ДНФ и логические законы: После преобразования получаем: .

Пример 2. Показать, что ((BC)\A)(AC)С.

Выполним операции над множествами через преобразование соответствующего этим операциям логического выражения:

Отсюда имеем, что , то есть Q является подмножеством C.