- •1. Понятие логического высказывания. Элементарное и сложное высказывание. Логические выражения (формулы) и логические операции. Диаграммы Венна.
- •2. Представление логических выражений в дизьюнктивной (коньюнктивной) нормальной форме. Теорема Шеннона и принцип двойственности.
- •3. Логические законы (тавтологии).
- •4.Множества и подмножества.Универсально множество.Основные определения и свойства.Мощность множества,степень множества.
- •5 Операции над множествами, их свойства. Связь с логическими законами.
- •6.Описание числовых множеств на плоскости.Диаграммы Эйлера.
- •10.Понятие функции как специального вида отношений. Инъекцивная, сюрьективная, биективная функции
- •8. Бинарные отношения. Основные определения и способы задания отношений. Обратное отношение. Композиция отношений.
- •7.Кортеж, прямое произведение множеств. Понятие графика и свойства графиков.
- •11. Алгебраические системы. Алгебра множеств и булева алгебра.
- •22. Элементы цикломатики. Фундаментальная система циклов, цикломатическое и коциклическое число.
- •13.Понятие изоморфизма графов. Основные инварианты графа. Теорема Эйлера о степенях вершин. Подграфы и операции над графами.
- •24. Гамильтоновы графы. Достаточные условия существования гамильтонова цикла.
- •15. Вершинная и реберная связность графа. Мосты, блоки, точки сочленения. Разделяющие множества и разрезы. Теорема Менгера в вершинной и реберной форме
- •16. Двудольные графы и паросочетания. Свойства двудольных графов. Теорема Холла о совершенном паросочетании.
- •17. Неориентированные (свободные) и ориентированные (корневые) деревья. Свойства деревьев.
- •19. Способы представления деревьев в эвм. Упорядоченные и бинарные деревья, их свойства.
- •20.Поиск кратчайших путей на взвешенных графах. Алгоритм Форда-Беллмана и алгоритм Дейкстры.
- •21. Сети и потоки в сетях. Топологическая сортировка сети. Определение потока. Теорема Форда-Фалкерсона.
- •25. Задача коммивояжера. Решение задачи методом ветвей и границ.
- •27. Задача о раскраске графа. Понятие хроматического числа, его связь с валентностью вершин. Примеры графов с известным хроматическим числом. Теорема о раскраске планарных графов
- •23. Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе.
2. Представление логических выражений в дизьюнктивной (коньюнктивной) нормальной форме. Теорема Шеннона и принцип двойственности.
Разложение логических (булевых) функций по переменным. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Бывают случаи, когда формула принимает на всех наборах значение true (1). Если обратиться к смыслу, заключенном в таком сложном высказывании, то получается, что факт, к которому мы пришли в результате рассуждений, является неопровержимой истиной. Напротив, если сложное высказывание, построенное нами из простых высказываний, всегда ложно, это означает, что наше рассуждение привело к противоречию.
a |
b |
ab |
|||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Если же логическая формула не тождество и не противоречие, то ее называют логической функцией.
Двоичная логика в компьютерных системах реализуется с помощью трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Преобразование логической формулы к такому виду называется представлением логической (булевой) функции в дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форме (ДНФ или КНФ соответственно).
Логическую формулу, содержащую только операцию конъюнкции, будем называть элементарной конъюнкцией. Соответственно, формулу, содержащую только операции дизъюнкции – элементарной дизъюнкцией.
Чтобы перейти к представлению логических формул через ДНФ (КНФ) сначала рассмотрим так называемое разложение булевой функции по переменным. Введем следующее обозначение
Теорема(Шеннона). Каждую булеву функцию f(x1,x2,…,xn) при любом 1mn можно представить в виде:
f(x1,x2,…,xn)= .
Для доказательства достаточно проверить эквивалентность правой и левой части.
Давайте посмотрим для одной переменной. Получим следующее.
Если f(x1,x2,…,xn)=0 при значении x1=1, то первая элементарная конъюнкция равна нулю. Если же функция принимает значение 1 при x1=0, то мы умножаем ее на отрицание x1, то есть на 1. Поскольку дизъюнкция принимает значение 0 (false) только если оба операнда ложны, а во всех остальных случаях она истинна, в логической сумме можно оставить один операнд, при котором f(x1,x2,…,xn)=1. Отсюда получаем: Проделав такое разложение последовательно для всех остальных переменных, получим выражение
Таким образом, при m=n мы приходим к представлению, у которого в правой части стоят значения функции на конкретных двоичных наборах, а именно тех, которые соответствуют значениям f(1,2,…,n)=1. Тогда мы можем в элементарных конъюнкциях полученного разложения опустить операнд f(1,2,…,n) и оставить только :
Такое представление логической функции называется ее совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). СДНФ применяются, например, в логических системах распознавания, когда каждое логическое выражение, описывающее объект распознавания, должно быть представлено через фиксированный набор логических признаков, принимающих два значения – 0 или 1.
СДНФ для любой логической функции можно получить с помощью таблицы истинности. Каждому набору, на котором функция истинна, сопоставляем конъюнкцию всех переменных - без отрицания, если переменная в данном наборе имеет значение 1, и с отрицанием, если она имеет значение 0. Все эти наборы объединяем операцией дизъюнкции. Именно потому, что в качестве объединяющей операции используется дизъюнкция, такая форма представления и называется дизъюнктивной. Если бы у нас объединяющей операцией была конъюнкция, а операнды этой конъюнкции были бы, соответственно, элементарными дизъюнкциями, то мы бы получили так называемую совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ). Но, поскольку мы уже заранее договорились о порядке выполнения операций, нам бы пришлось каждую элементарную дизъюнкцию в этом объединении заключать в скобки. Поэтому чаще, пользуются совершенной дизъюнктивной нормальной формой. В целом же приходится ориентироваться на то, какая форма удобнее или короче при решении конкретной прикладной задачи.
Принцип двойственности. получить СКНФ. Обратимся к таблице истинности для конъюнкции. Добавим в нее отрицания для логических переменных и отрицание для самой функции.
Из таблицы видно, что на наборах «антипеременных» , мы получаем значения , соответствующие дизъюнкции этих «антипеременных». То есть =является так называемой двойственной функцией по отношению к ab. Заметим сразу, что понятие двойственной функции в общем случае не равносильно введенному раньше понятию «антиоперации».
Функция, двойственная к некоторой функции f, получается заменой всех переменных на их отрицания и самой функции f на ее отрицание. Двойственную функцию для f будем обозначать f*. То есть и . Функция, у которой двойственная функция на одинаковых наборах переменных принимает те же самые значения, называется самодвойственной. Пример самодвойственной функции: abbcac.
Итак, мы выяснили, что . Можно показать точно так же, что .(эти соотношения, вытекающие из принципа двойственности, называются законами де Моргана.)
В качестве примера получим СДНФ и СКНФ для логической функции, (таблица истинности кот. в 1вопросе). Эта функция принимает значение 1 на двух наборах: {a=1,b=0,c=0} и {a=0,b=1,c=0}. Отсюда получаем следующее представление для функции в совершенной дизъюнктивной нормальной форме.
Заменим в СДНФ все операнды из элементарных конъюнкций на их отрицания и, поменяв местами все конъюнкции и дизъюнкции, получаем СКНФ.