4.Множества и подмножества.Универсально множество.Основные определения и свойства.Мощность множества,степень множества.

Множество - некоторая совокупность абстрактных или реальных объектов, рассматриваемая как единое целое в рамках решаемой задачи. Математическая теория множеств оперирует с абстрактными понятиями, а не с конкретными объектами. Потому-то в абстрактной математической теории иногда возникают казусы, называемые парадоксами

Способы задания множеств. Если множество состоит из небольшого числа элементов, то его можно задать простым перечислением. Если нет, то можно найти и сформулировать какое-то свойство, которым все эти элементы обладают, или условие, которому они удовлетворяют. Отсюда три способа задания множества: перечислением, предикатом (условием), или способом отбора элементов (алгоритмом порождения множества).

Перечисление: A={a₁,a₂,…,a_n}. Пример: множество простых чисел из первого десятка натуральных чисел - A={1,2,3,5,7}.

Предикатный способ: A={a|P(a)}, где P(a) – условие (предикат), которому удовлетворяет а. Пример: множество положительных действительных чисел – A={a|a>0}.

Порождающая процедура: A={a|a=F}. Пример: множество из n нечетных положительных чисел - A={a|a=2k+1, k=0,1,2,3,…n}.

Если множество содержит очень большое количество элементов, его можно описать только предикатом или порождающей процедурой.

Количество элементов, из которых состоит множество A, называется мощностью множества и обозначается M(A)=|A|.

Объект a является элементом множества A, обозначают так: aA. Если объект не является элементом A, пишут aA. aA – это элементарное высказывание, которое может быть либо истинным, либо ложным, но не то и другое вместе. Это высказывание часто называют предикатом принадлежности.

В теории множеств совокупность объектов, из которой формируются множества конкретной модели, называют универсальным множеством или универсумом. Универсум принято обозначать буквой U. Множество состоит из отдельных элементов, значит, оно делимо и можно ввести еще одно понятие – подмножество множества А. Будем обозначать его Q(A) и писать, что Q(A)A. Если Q(A) может совпадать с A, пишут Q(A)A. Множество множеств иногда называют классом или семейством.

Сколько же подмножеств мы можем сформировать из нашего конкретного множества А? Давайте заведем коробку, куда будем складывать элементы a_i, назовем ее Q(A) и займемся комбинаторикой.

Вначале наша коробка пуста, то есть  a_i, i=1,…,|A| высказывание «a_iA» ложно. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Итак, Q₀(A)=. Для него мы имеем набор истинностных значений высказываний «a_iA» (набор логических переменных) - (0,…,0). Теперь кинем в коробку один элемент. Получим набор значений логических переменных (0,…,1). Уберем выбранный элемент и кинем другой. Получим набор (0,…,1,0). Потом будем кидать парами, тройками и так далее. Таких наборов для М двоичных переменных, как мы уже знаем (вспомните таблицы истинности) - 2^|A|. Значит, мощность множества всех подмножеств заданного множества A мощности M(A)=|A| есть 2^|A|, что соответствует количеству различных наборов из M булевых переменных. Множество всех подмножеств {Q_i(A)} данного множества A поэтому называют булеаном. B(A)={Q_i(A)|i=0,1,…, 2^|A| }.

Любому подмножеству конечного множества мощности n можно сопоставить элементарную конъюнкцию из n переменных, где каждой переменной x_i соответствует высказывание «a_iA».

Сколько существует подмножеств заданной мощности N<M для нашего множества A? Способ расположения элементов в такой конструкции нас не интересует. Эта ситуация соответствует такому понятию комбинаторики, как число сочетаний из M элементов по N. Число возможных перестановок из N элементов P_N=N!, число размещений из M элементов по N, с учетом их положения (с нумерацией элементов) .

Если не учитывать нумерацию элементов внутри подмножества (что и называется сочетанием), то это число будет в P_N раз меньше: . Итак, |{Qi}|=.

Степенью множества A называется его прямое произведение само на себя: Aⁿ=A…A – всего n раз