6.Описание числовых множеств на плоскости.Диаграммы Эйлера.

Диаграммы Эйлера – это графический способ представления операций над множествами, который появился раньше диаграмм Венна (Эйлер жил в XVIII веке, а математическая логика как наука сформировалась значительно позже).

Рассмотрим в качестве универсума множество всех точек плоскости. Введем декартову систему координат (X,Y).Если объект линейный, то множество описывается функцией y=f(x). Если объект площадной (полигон), то он описывается системой неравенств (предикатов) вида y>f(x), y f(x) (если граница включается) или y<f(x). Знак неравенства зависит от того, с какой стороны от ограничивающей функции лежат принадлежащие полигону точки. Например, множество точек, принадлежащих кругу A с центром в точке (a,b) и радиусом r, описывается неравенством (x-a)²+(y-b)²r². Выполнение этого неравенства для некоторой точки (x,y) соответствует значению «true» предиката принадлежности «(x,y)A».

Произвольное множество А отображается на плоскости фигурой, ограниченной замкнутой кривой f(x,y)=0. В случае круга – кривой (x-a)²+(y-b)²-r²=0. Эта часть плоскости – область значения true (1) для предиката «(x,y)A». Часть плоскости за пределами круга соответствует, по определению, дополнению A до универсума. Если теперь изобразить таким же способом множества B,C,…, то, следуя предикатному определению операций над множествами, мы можем отобразить результаты различных операций, штрихуя или закрашивая области Q(A,B,C,…), в которых логическая функция от предикатных переменных принимает значение true (1). Штриховка или закрашивание применяется именно потому, что любая точка этой части плоскости принадлежит некоторому подмножеству Q(A,B,C,…), а таких точек бесконечно много.

Семейство подмножеств E={E_i},i=1,…,|E | называется покрытием множества M, если каждый элемент из M принадлежит хотя бы одному E_i. Семейство называется дизъюнктным или, иначе, разбиением M, если каждый элемент M принадлежит только одному E_i.

Пример 1. Описать заштрихованные части фигуры как операции над множествами точек плоскости.

Чтобы получить наиболее рациональное описание множеств, заметим, что ромб с вершинами в точках (3,0), (0,3), (-3,0), (0,-3) может быть аналитически описан уравнением |x|+|y|=3. Его внутренняя часть (с границей) определяется неравенством |x|+|y|3. Соответственно, внутреннюю часть ромба с вершинами (1,0), (0,3), (-1,0), (0,-3) можно задать как |3x|+|y|3, а ромба с вершинами (3,0), (0,1), (-3,0), (0,-1) – как |x|+|3y|3. Три ромба, составляющие рассматриваемую фигуру, можно описать как множества:

A={(x,y)| |x|+|y|3}, B={(x,y)| |3x|+|y|3, C={(x,y)| |x|+|3y|3}.

При таком задании множеств-операндов незаштрихованную часть фигуры можно описать как (BC)\(BC), то есть как симметрическую разность BC. Следовательно, заштрихованную часть Q данной фигуры наиболее коротким способом можно представить как Q=A\(BC).

Ответ: Q=A\(BC), где A={(x,y)| |x|+|y|3}, B={(x,y)| |3x|+|y|3, C={(x,y)| |x|+|3y|3}.