Вопрос № 45 Система сравнений первой степени и одним неизвестным, китайская теорема об остатках. Рассмотрим простейшую систему сравнений
≡
≡
……………………..
≡
)
система
с одним неизвестным, но с разными и притом попарно простыми модулями.
Решить
систему
можно, применив следующую теорему:
Пусть
числа
определены из условий :
и пусть
Тогда
совокупность значений
,
удовлетворяющих системе
определяются сравнением:
x≡
Действ.
ввиду делимости на
всех
отличных от
при любом s=1,2,3…….k имеем
:
и следовательно система
равносильна
системе x≡(mod
,
x≡
(
т.е. система
и
удовлетворяют одни и те же значения
).
Системе же
удовлетворяют только те значения
, которые удовлетворяют сравнению
Если
независимо друг от друга пробегают
полные системы вычетов по модулю
то
и
пробегает полную систему вычетов по
модулю
Пример : решим систему
x≡
Здесь 4·5·7=35·4=28·5=20·7, причём
35·3≡1(mod4), 28·2≡1(mod5) 20·6≡1(mod7)
Поэтому
и
следовательно совокупность значений
удовлетворяющих
системе может быть представлена в виде
=105
Так,
например, совокупность
, удовлетворяющих системе
Будет
=
105
в совокупность значений
,
удовлетворяющих системе
будет
≡105
.
Китайская теорема об остатках ( Сун Це )
Пусть
- модули ( целые числа . больше 1), которые
являются попарно взаимно простыми т.е.
НОД (
при i≠j
Пусть
- тоже целые числа 0
Пусть
M=
произв. всех
.
Обозначим
и пусть
будет обратным к
i=1,2...,t, т.е.
Так
как НОД (
,
то обратный элемент
существует и находится из алгоритма
Евклида из соотношения
i=1,2,...t
Сравнения
x≡
,
i=1,2,...t имеют в интервале
единственное общее решение
x=
Частный
случай. Пусть М=
,
где
- взаимно простые. Тогда для произв.
целых
- сущ. единственное число
,
,
такое что x≡
Используем
сначала алгоритм Евклида для вычисл.
таких что
и
Здесь
x=(
Алгоритм нахождения решения сист. сравнений использующей китайскую теорему.
begin
for i:=1
Ni:= (
for
i:=1
crt:=x
end.
Вопрос
№46.Понятие поля. Примеры. Поле из двух
элементов. Отсутствие делителей нуля
в поле . Характеристика поля. Существование
в поле характеристики
простого подполя из
элементов.
Поле
– это нетривиальное коммутативное
кольцо с единицей, такое в котором
множество элементов (
образуют коммутативную группу.
Пусть
F=<
>
поле , тогда наименьшее число m, такое
что m
,
где
элемент кольца называется характеристикой
конечного поля F.
Существует 2 кольца из 2-ух элементов, но поле только одно из них.
В поле характеристики
сущ. простое подполе из p элементов.
Любое конечное поле содержит подполе.
В каждом поле Р содержится только одно
простое подполе. Если харак. поля =
, то простое подполе состоит из
элементов.
