3. КонтролЬна роБоТа

Задачі 1-20. Застосування елементів комбінаторики, теорем елементарної теорії ймовірностей, та схем Бернуллі до розв’язку задач із визначенням ймовірностей подій.

1. Є 4 червоних, 5 білих та 6 блакитних маршрутних таксі. На маршрут виїхало 4 таксі. Яка ймовірність того, що:

   1. Всі таксі будуть одного кольору;

   2. Хоча б одна маршрутка виявиться червоною;

   3. На маршруті будуть 1 червоне, 2 білих і 1 блакитне таксі?

2. Слово „розбудова” складене з літер, записаних на різних картках. Навмання беруть 4 картки і складають їх у порядку їхньої появи. Яка ймовірність того, що при цьому з’явиться слово:

   1. „вода”;

   2. „удар”?

3. 13 пасажирів навмання сідають у 4 пронумеровані підряд вагони. Яка ймовірність того, що:

   1. у перший вагон сядуть рівно три пасажири;

   2. у перший вагон сядуть не більше 3 пасажирів;

   3. в одному вагоні їхатимуть 4 пасажири?

4. У трьох бібліотеках є книжки з економіки та математики. У першій бібліотеці є 8 книжок з економіки і 5 з математики, в другій – відповідно 6 і 9, а в третій – відповідно 7 і 8. Студент замовив у бібліотеках 6 книжок. Яка ймовірність того, що серед замовлених книжок будуть:

   1. 4 книжки з економіки та 2 з математики;

   2. 2 книжки з економіки із першої бібліотеки, і одна – з третьої?

5. В одній урні є 2 чорних та 3 білих кульки, в другій – 4 чорних та 6 білих кульок. Із кожної урни навмання беруть по 2 кульки. Потім із цих кульок навмання беруть дві. Яка ймовірність того, що вони виявляються білими?

6. вісьмом людей випадковим чином розсаджують на одинадцяти стільцях. Знайти ймовірність того, що дві певні особи сидітимуть поруч, якщо:

   1. стільці розташовано в ряд;

   2. стільці розташовано по колу?

7. Яка ймовірність того, що в навмання обраному шестизначному числі є принаймні:

   1. одна парна;

   2. дві непарні цифри?

8. На вечірці розігрують 50 призів для 50 учасників. Серед цих призів 30 – білетів лото „Забава”, десять – пляшки із шампанським, п’ять – різнокольорові надувні кульки, чотири – олівці і один – відпочинок удвох на Гаваці. Яка ймовірність того, що першими п’ятьма призами будуть:

   1. Лише пляшки із шампанським;

   2. Першими двома призами будуть кольорові надувні кульки, третім призом – білет лото „Забава”, четвертим – поїздка на Гавайї, і п’ятим– олівець?

9. Ймовірність візуального виявлення супутниками p=0,25, якщо хмарність не перешкоджає спостереженням. Знайти ймовірність того, що з десяти прольотів супутника над пунктом спостереження його візуального виявляють:

   1. не більше двох разів;

   2. хоча б три рази?

10. На комісійний продаж виставлено 5 парт із щомісячним зменшенням ціни на 10%. Ймовірність того, що парту буде продано протягом місяця, складає 0,7. знайти ймовірність подій:

    1. за 2 місяці буде продано 3 парти;

    2. за 1 місяць буде продано не більше 4 парт;

    3. конкретну парту буде продано за ціною не меншою 80% від її початкової вартості.

Яка ймовірність продажу парти за 3 місяці, якщо ймовірність її продажу зі зменшенням ціни збільшуються на 20%?

11. У першій урні 4 білі та 2 чорні кульки, в другій – 2 білі та 16 чорних, а в третій – 6 білих та 4 чорні. Із кожної урни навмання беруть по одній кульці, а потім із цих трьох навмання взяли одну кульку. Знайти ймовірність того, що вона біла.

12. Кожна з двох урн містить 8 чорних та 2 білих кульки. З другої урни навмання беруть кульку й перекладають її в першу урну. Знайти ймовірність того, що кулька, взята з першої урни, буде чорною?

13. Два стільці по черзі по одному разу стріляють по мішені. Ймовірність влучити для першого стрільця дорівнює p₁, для другого – p₂. виграє той, хто влучить першим. Знайти ймовірність того, що:

    1. виграє перший стрілець;

    2. виграє другий стрілець;

    3. ніхто з них не виграє?

14. У трьох ящиках міститься по 10 деталей. Серед деталей першого ящика є 3 нестандартних деталі, серед другого – 5, я серед деталей третього їх 7. Навмання взяту деталь у першому ящику перекладають у другий ящик, потім навмання взяту деталь у другому ящику перекладають у третій ящик. Знайти ймовірність того, що навмання взята у третьому ящику деталь виявиться стандартною.

15. Екзаменаційний білет містить 3 питання: два теоретичних і одну задачу. Ймовірність того, що студент відповість на перше і на друге теоретичне питання, відповідно дорівнюють 0,9 і 0,8. Ймовірність правильного розв’язку ним задачі дорівнює 0,7. Позитивну оцінку виставляють при вірних відповідях не менше ніж на два питання білета. Яка ймовірність того, що студент правильно розв’язав задачу, якщо на екзамені він отримав позитивну оцінку?

16. Годинники виготовляють на трьох заводах. На першому заводі виготовляють – 40%, на другому – 15% продукції. Відомо, що 80% годинників третього заводу поспішають. Яка ймовірність того, що:

    1. куплений годинник поспішає;

    2. куплений годинник виготовлений на другому заводі;

    3. куплений годинник поспішає і його виготовлено на третьому заводі?

17. Відомо, що серед 60 студентів 25 вивчають англійську мову, 12 – французьку, 15- німецьку, 7 – французьку і німецьку, 5 – англійську і німецьку, 2 – англійську і французьку. Знайти ймовірність того, що серед 3 навмання відібраних студентів будуть:

    1. такі, які вивчають лише англійську мову;

    2. такі, які вивчають лише якусь одну мову;

    3. лише такі, які вивчають різні мови;

    4. такі, які не вивчають жодної мови?

18. У спеку студент купив 5 пакетів із соком та 5 пакетів із солодкою водою. На протязі першої половини дня він випив 4 пакети в випадковому порядку. Знайти ймовірність того, що:

    1. третій пакет був із соком;

    2. студент випив 3 пакети з водою і один пакет із соком;

    3. він випив не менше трьох пакетів із соком?

19. В урні 5 білих та 8 чорних кульок. Навмання беруть 2 кульки. Якщо серед узятих кульок будуть білі (одна або ж дві), то їх міняють на запасні чорні і повернуть в урну. Потім із урни знову навмання виймуть 2 кульки. Знайти ймовірність того, що обидві вони білі.

20. група з 20 студентів складає залік, на якому потрібно правильно відповісти на якесь одне із 40 питань. 10 студентів групи знають відповіді на всі питання, 6 студентів – на 30 питань, і 4 студенти – на 25 питань. Викликаний навмання студент склав залік. Знайти ймовірність того,що цей студент знав відповіді:

    1. на всі питання;

    2. лише на 25 питань?

Задачі 21-30.Числові характеристики випадкової величини та деякі властивості законів розподілу

Випадкову величину Х задано інтегральною функцією F(x). Потрібно:

• визначити сталу С;

• знайти диференціальну функцію f(x);

• обчислити математичне сподівання і дисперсію величини Х;

• побудувати графіки інтегральної та диференціальної функції.

21. 22.

F(x)=                      F(x)=

23. 24.

F(x)= F(x)=

25. 26.

F(x)= F(x)=

27. 28.

F(x)= F(x)=

29. 30.

F(x)= F(x)=

Задачі 31-40

Обчислення ймовірностей появи випадкової величини в певному інтервалі та її відхилення на певну величину від математичного сподівання.

Задано математичне сподівання M[X]=m та середнє квадратне відхилення σ=(D[X])^0,5 випадкової величини Х з нормальним розподілом.

Знайти ймовірність того, що:

• х набуде значення, яке належить інтервалу (a;b);

• абсолютна величина відхилення Х(m) буде меншою за δ.

31. m=10, σ =5, a=12, b=14, δ=1.

32. m=12, σ =4, a=10, b=15, δ=4.

33. m=11, σ =2, a=9, b=12, δ=2.

34. m=7, σ =3, a=3, b=11, δ=8.

35. m=13, σ =4, a=8, b=14, δ=7.

36. m=15, σ =3, a=9, b=19, δ=6.

37. m=14, σ =5, a=12, b=18, δ=5.

38. m=5, σ =1, a=4, b=8, δ=3.

39. m=16, σ =6, a=14, b=20, δ=9.

40. m=6, σ =2, a=4, b=10, δ=2,5.