Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Эл ток Документ Microsoft Word.doc

Скачиваний:

106

Добавлен:

17.12.2018

Размер:

603.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

6.2. Порядок решения задач на постоянный ток

1. Прочитав задачу, начертить схему электрической цепи, обозначив на ней все элементы цепи. Если по условию задачи происходят какие-либо изменения в цепи, то схему лучше нарисовать два раза.

2. Указать на рисунке все направления токов, обозначения сопротивлений всех участков. Разобраться в том, какие элементы цепи соединены параллельно, а какие - последовательно.

3. Используя законы постоянного тока, написать уравнения, связывающие между собой все характеристики данной цепи: токи, сопротивления, напряжения и ЭДС

4. Решить полученную систему уравнений.

6.3. Примеры решения задач

П р и м е р 1.

Определите заряд Q, прошедший по проводнику с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах проводника от U₀ = 2 В до U = 4 В в течение t = 20 с.

Дано:

R = 3 Ом

U₀ = 2 В

U = 4 В

t = 20 с

Найти:

Q – ?

Анализ: По условию задачи сила тока в проводнике изменяется с течением времени, поэтому необходимо воспользоваться определением мгновенного тока, а не среднего. Кроме того, необходимо применить при решении задачи закон Ома для однородного участка цепи. Все это позволит нам выразить тот заряд, который проходит по проводнику за малый интервал времени dt. Проинтегрировав полученное выражение, найдем искомый заряд.

Решение:

По определению мгновенная сила тока равна . Отсюда выразим дифференциал заряда и проинтегрируем это уравнение:

. (1)

Силу тока можно выразить из закона Ома для однородного участка цепи , с учетом этого получим

(2)

Напряжение U на концах проводника в данном случае переменное. Поскольку нарастает напряжение равномерно, то его зависимость от времени является линейной функцией времени и может быть выражена формулой

U= U_o + kt, (3)

где k – коэффициент пропорциональности. Подставим это выражение в формулу (2) и получим

Проинтегрировав, получим

(4)

Значение коэффициента пропорциональности k можно найти из формулы (3), если подставить в это выражение значения, входящих в формулу величин. Задано, что при t = 20 с U = 4 В, а при t₀ = 0 с U ₀= 2 В.

Подставив все известные значения величин в формулу для определения искомого заряда(4), найдем

Ответ:

П р и м е р 2.

Вольфрамовая нить электрической лампочки при t₁ = 20⁰С имеет сопротивление R₁ = 35,8 Ом. Какова будет температура t₂ нити лампочки, если при включении в сеть напряжением U = 120 В по нити идет ток I = 0,33 А? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама a = 4,6×16^-3К^-1.

Дано:

t₁ = 20⁰C;

R₁ = 35,8 Ом;

U = 120 B;

I = 0,33 A;

a = 4,6 10^-3 K^-1

t₂ - ?

Анализ:

В данной задаче рассматривается нагревание проволочки из вольфрама при протекании по ней электрического тока. По закону Джолуля–Ленца при прохождении тока по проводнику в проводнике выделяется некоторое количество теплоты, которое идет на нагревание проводника. При увеличении температуры проводника его сопротивление линейно возрастает с температурой R = R₀ (l + at), где a - температурный коэффициент сопротивления материала проводника.

Решение:

Запишем температурную зависимость сопротивления проводника два раза для двух температур t₁ и t₂:

R₁ = R₀ (l + at₁), R₂ = R₀ (l + at₂),

где R₀ – сопротивление проводника при t =0⁰С, а a - температурный коэффициент сопротивления для вольфрама. Его значение задано.

Решая систему уравнений получаем выражение для определения R₂ :

т.к. и и эти выражения можно приравнять и получить .С другой стороны, по закону Ома для участка цепи имеем

Приравняв два полученных выражения для сопротивления R_2, после алгебраических преобразований получаем формулу для вычисления температуры t₂

Вычислим искомую температуру .

Ответ: температура нити t₂ = 2411⁰С.

П р и м е р 3.

Имеются два одинаковых элемента с ЭДС ε = 2 В и внутренним сопротивлением r = 0,3 Ом. Как надо соединить эти элементы (последовательно или параллельно), чтобы получить больший ток на внешнем участке цепи, если внешнее сопротивление: а) R = 0,20 м; б) R = 160 м. Найти ток в каждом из этих случаев и сравнить их.

Дано:

e₁ =e₂ =2 В;

r = 0,30 м;

а) R = 0,2 0м;

б) R =16 0м.

I₁ - ? I₂ - ?

I₃ - ? I₄ - ?

Анализ: При последовательном соединении источников тока их ЭДС складываются, т.е. ЭДС системы будет равняться алгебраической сумме ЭДС источников соединенных в батарею. При последовательном соединении источников, когда « + » одного источника соединяется с « - » другого, оба значения ЭДС складываютя с одинаковым знаком. Общее сопротивление батареи так же равняется сумме сопротивлений соединяемых источников.

При параллельном соединении одинаковых источников одноименными полюсами в батарею величина полученной ЭДС будет равна ЭДС одного из соединяемых источников. При параллельном соединении складываются не сами сопротивления, а их обратные величины.

При решении задачи необходимо воспользоваться законом Ома для замкнутой цепи, учитывая все особенности соединения элементов цепи. Из полученных уравнений найти искомые величины и сравнить их между собой.

Решение:

1)Источники соединены последовательно. Общее сопротивление источника будет равно r + r = 2r. ЭДС полученной батареи равно ε = e₁ + e₂ = 2e₁

Запишем закон Ома для полной цепи в случае, когда источники тока соединены последовательно: .

Тогда:

а) При R = 0,2 0м получаем ;

б) При R = 16 0м получаем .

2) Источники соединены параллельно. В этом случае, когда источники с одинаковыми ЭДС соединены параллельно, на концах соединения мы получим разность потенциалов, равную ЭДС одного элемента e = e₁. Сопротивление полученного источника будет равно

Из закона Ома для замкнутой цепи получим: .

а) При R = 0,2 0м получаем ;

б) При R = 16 0м получаем .

Ответ: Сравнивая полученные значения токов, видим, что при малом внешнем сопротивлении R элементы выгоднее соединять параллельно (I₃ > I₁), а при большом внешнем сопротивлении R – последовательно (I₂ > I₄).

П р и м е р 4.

Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R₁ = 2 Ом, а затем на внешнее сопротивление R₂ = 0,5 Ом. Найти ЭДС e элемента и его внутреннее сопротивление r, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и равна Р₁ = 2,54 Вт.

Д ано: Нарисуем схему цепи в двух случаях:

R₁ = 2 Ом;

R₂=0,5 Ом;

Р₁ = Р_2;

Р₁ = 2,54 Вт

___________

e - ? r - ?

Анализ:

В задаче рассматривается замкнутая электрическая цепь. включающая в себя источник постоянного тока и нагрузку R. При подключениик источнику различной нагрузки сила тока в цепи будет различная, а тепловая мощность в этих сопротивлениях выделяется одинаковая по условию задачи. Используя закон Ома для замкнутой цепи и формулу для вычисления мощности, надо составить систему уравнений, решить её и найти искомые величины.

Решение:

Запишем для каждого из этих случаев закон Ома для замкнутой цепи и выражение для мощности, выделяемой на внешнем сопротивлении:

, .

Соответственно и .

По условию мощности равны: Р₁ = Р₂ и .

Подставим выражение для токов в правую и левую части уравнения:

Решая это уравнение, находим внутреннее сопротивление источника

или Ом

Вычислим ЭДС источника. Для этого выразим силу тока из формулы для мощности и подставим ее в закон Ома для замкнутой цепи

, тогда или .

Ответ: источник имеет ЭДС e ≈ 4,86 В и внутреннее сопротивление r = 1,0 Ом.

П р и м е р 5.

ЭДС батареи e = 120 В, сопротивления R₃ = 30 Ом, R₂ = 60 Ом. Схема цепи приведена на рисунке. Амперметр показывает ток I = 2 А. Найти мощность, выделяемую в сопротивлении R₁. Сопротивлением источника можно пренебречь.

Д ано:

e = 120 В;

R₃ = 30Ом;

I = 2 A

R₂ = 60 Ом;

Р - ?

Анализ:

Цепь, заданная в этой задаче, содержит и последовательное и параллельное соединение сопротивлений. Ток, который показывает амперметр, протекает через сопротивление R₃и источник тока, а затем делится на два тока I = I₁ + I₂ . Для того, чтобы найти мощность, выделяемую в сопротивлении R₁, необходимо найти сопротивление R₁и силу тока на этом участке цепи I₁. Для решения задачи необходимо использовать закон Ома для замкнутой цепи, формулы для вычисления сопротивления параллельно и последовательно соединенных сопротивлений, а так же формулу для вычисления мощности тока.

Решение: Мощность, выделяемая в сопротивлении R₁, равна .

Соединение сопротивлений R₁ и R₂ параллельное и общее сопротивление этого участка будет равно

Запишем закон Ома для замкнутой цепи: или .

В этом уравнении неизвестно только сопротивление R₁. Найдем это сопротивление из полученного уравнения

или

Получаем значение для сопротивления: R₁ = 40 Ом.

Ток в первом узле делится на два тока I = I₁ + I₂. Падение напряжения на сопротивлениях R₁ и R₂ будут одинаковые, т.к. соединение сопротивлений параллельное.

, отсюда запишем, что . Учитывая численные значения сопротивлений, получили .

Общий ток складывается из двух токов , или ток, текущий по сопротивлению R₁, равен .

Мы определили величину сопротивления R₁ и силу тока I₁, текущего в этом проводнике. Зная эти величины, можно вычислить мощность, выделяющуюся на сопротивлении R₁:

Ответ: на сопротивлении R₁ выделяется мощность Р = 57,6 Вт.

П р и м е р 6.

К зажимам аккумуляторной батареи, имеющей ЭДС равную ε =24 В и внутреннее сопротивление r = 1 Ом, присоединен нагреватель. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мощность Р = 80 Вт. Определите силу тока в цепи и коэффициент полезного действия нагревателя.

Дано: Анализ: Нарисуем схему цепи, описанной в задаче.

ε =24 В

r = 1 Ом

Р= 80 Вт

Найти:

I = ? η = ?

Цепь замкнутая, поэтому нужно применить закон Ома для решения задачи. Кроме того нам задана мощность, выделяющаяся в нагрузке, ее можно выразить через величину силы тока в цепи и сопротивление этого участка цепи. Два полученных уравнения образуют систему уравнений, решив которую мы ответим на первый вопрос задачи.

Второй вопрос касается к.п.д. нагревателя. Коэффициент полезного действия всегда определяется как отношение полезной работы или мощности к затраченной. В данном случае полезной является тепловая мощность, выделяемая в нагревателе, а затраченной является мощность, вырабатываемая в источнике тока. Для ответа на второй вопрос надо выразить перечисленные мощности и найти их отношение.

Решение:

1) Запишем закон Ома для замкнутой цепи:

Второе уравнение получим, записав выражение для мощности, которая выделяется на сопротивлении : .

Получили два уравнения и две неизвестных величины

Исключив из этих уравнений сопротивление нагрузки, получаем квадратное уравнение для определения силы тока в цепи:

Или подставив численные значения заданных величин, получаем

Уравнению удовлетворяют два значения силы тока: .

2) Ответим на второй вопрос задачи. Полезная мощность, выделяемая в нагревателе, вычисляется следующим образом , а затраченная или полная равна. Их отношение определяет коэффициент полезного действия нагревателя: .

Двум найденным значениям тока соответствуют два значения сопротивления нагрузки. Из выражения для мощности находим R:

или и .

Вычислим к.п.д. для двух случаев:

Ответ. Силы тока могут быть : ; соответствующие им КПД и

П р и м е р 7.

Дано:

t₁=20⁰C;

R₁ = 35,8 Ом;

U = 120 B;

I = 0,33 A;

 = 4,6 10² K^-1

t₂ - ?

Анализ: В данной задаче можно не делать рисунка. Т.к . рассматривается не конкретная какая-нибудь электрическая схема, а поведение одной нити при разных температурах. Для решения задачи надо вспомнить температурную зависимость проводников. Сопротивление проводников линейно возрастает с ростом температуры для не очень низких или не очень высоких температурах.

Решение:

Запишем температурную зависимость сопротивления проводника для двух температур t₁ и t₂:R₁ = R₀ (l + t₁), R₂ = R₀ (l + t₂), где R₀ – сопротивление проводника при t =0⁰С, а  - температурный коэффициент для вольфрама. Его значение задано.

Из этих двух уравнений находим:

, т.к. и.

С другой стороны, по закону Ома для участка цепи .

После алгебраических преобразований имеем

Ответ: температура нити t = 2008⁰С.

П р и м е р 8.

Имеются два одинаковых элемента с ЭДС Е = 2 В и внутренним сопротивлением r = 0,3 Ом. Как надо соединить эти элементы (последовательно или параллельно), чтобы получить больший ток, если внешнее сопротивление: а) R₁ = 0,20 Ом; б) R ₂= 160 Ом. Найти ток в каждом из этих случаев.

Д ано:

 = 2 В;

r = 0,30 м;

а) R₁ = 0,20 м;

б) R₂ =160 м

I₁ - ? I₂ - ? I₃ - ? I₄ - ?

Решение:

Нарисуем схему цепи для двух случаев соединения элементов.

1) Источники соединены последовательно. При таком соединении элементов складываются их ЭДС и внутреннее сопротивление батареи будет равно сумме внутренних сопротивлений элементов r + r = 2r.

Запишем закон Ома для полной цепи в случае, когда источники тока соединены последовательно: .

Тогда:

а) ,

б) .

2) В случае, когда источники тока соединены параллельно, на концах, соединения мы получим разность потенциалов, равную ЭДС одного элемента ; сопротивление полученного источника будет равно

Закон Ома имеет вид: .

Тогда

а) ;

б)

Ответ: при малом внешнем сопротивлении R элементы выгоднее соединять параллельно (I₃  I₄), а при большом внешнем сопротивлении – последовательно (I₂ I₄).

П р и м е р 9.

Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R₁ = 2 Ом, а затем на внешнее сопротивление R₂ = 0,5 Ом. Найти ЭДС  элемента и его внутреннее сопротивление r, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и равна Р₁ = 2,54 Вт.

Д ано:

R₁ = 2 Ом;

R₂ = 0,5 Ом;

Р₁ = Р_2;

Р₁ = 2,54 Вт

____________

 - ?

r - ?

Анализ и решение:

Нарисуем схему цепи в двух случаях.

В каждом из этих случаев можно написать закон Ома для замкнутой цепи и выражение для мощности, выделяемой на внешнем сопротивлении:

, .

Соответственно и .

По условию они равны: Р₁ = Р₂ и .

Подставим выражение для тока

Находим из этого уравнения внутреннее сопротивление источника

Ом

, тогда .

Ответ: источник имеет ЭДС  = 3,38 В и внутреннее сопротивление r = 10 м.

П р и м е р 10.

ЭДС батареи  = 120 В, сопротивление R₃ = 30 Ом, R₂ = 60 Ом. Схема цепи приведена на рисунке. Амперметр показывает ток I = 2 А. Найти мощность, выделяемую в сопротивлении R₁. Сопротивлением источника можно пренебречь.

Дано: