Заўвага. Абмежаванасць ёсць недастатковая ўмова для інтэгравальнасці функцыі.

Напрыклад, функцыя Дырыхле на адрэзку абмежаваная, але неінтэгравальная, бо пры рацыянальных , а пры ірацыянальных .

Няхай абмежаваная на , і – некаторы падзел адрэзка . Няхай

.(Ці існуюць?)

Сумы называюцца адпаведна ніжняй і верхняйсумамі Дарбу для дадзенага падзелу .

Паколькі , то , а тым самым , г.зн. .

Крытэр інтэгравальнасці. Для таго каб функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку , была інтэгравальнаю на гэтым адрэзку, неабходна і дастаткова, каб гэтая функцыя адпавядала ўмове

г.зн. .

Калі абазначыць так званае ваганне функцыі на адрэзку , то розніцу

называюць інтэгральным ваганнем функцыі на адрэзку .

Такім чынам, умова крытэра інтэгравальнасці ёсць

.

§4.6. Класы інтэгравальных функцый.

Згодна з тэарэмай Кантара, калі функцыя ёсць непарыўная на адрэзку , то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку, г.зн.

. (1)

Тэарэма 1 (Інтэгравальнасць непарыўнай функцыі). Непарыўная на адрэзку функцыя ёсць інтэгравальная на гэтым адрэзку.

□ Няхай функцыя ёсць непарыўная на адрэзку . Паводле тэарэмы Кантара яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку, г.зн. мае месца (1).

Няхай – такі падзел адрэзка , што яго дробнасць . Адпаведна другой тэарэме Ваерштраса

.

Паколькі , а , то , а таму . Маем

,г.зн. .

Згодна з крытэрам інтэгравальнасці функцыя ёсць інтэгравальная на . ■

Можна даказаць праўдзівасць наступных тэарэм:

Тэарэма 2 (Інтэгравальнасць кавалкава-непарыўнай функцыі). Калі функцыя , вызначаная і абмежаваная на адрэзку, ёсць непарыўная ва ўсіх пунктах гэтага адрэзку акрамя іх канечнай колькасці (г.зн ёсць кавалкава-непарыўная), то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 3 (Інтэгравальнасць манатоннай функцыі). Калі функцыя вызначана, абмежаваная і манатонная на адрэзку, то яна інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Тэарэма 4 (Інтэгравальнасць кампазіцыі). Калі функцыя інтэгравальная на адрэзку і , а функцыя непарыўная на , то складаная функцыя ёсць інтэгравальная на .

§4.7. Уласцівасці вызначанага інтэграла.

1º. – натуральнае пашырэнне паняцця інтэграла на адрэзак нулявой даўжыні.

2º. – тут .

3º. Калі функцыі і інтэгравальныя на адрэзку , то для кожных лікаў α і β функцыя таксама інтэгравальная на , прычым .

□ Доказ вынікае з роўнасці для інтэгральных сумаў

Заўвага. Калі функцыі і інтэгравальныя на адрэзку, то і функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

4º. Калі функцыя інтэгравальная на , то яна інтэгравальная на .

□ Няхай – адвольны падзел адрэзка . Разгледзім такі падзел адрэзка , каб на адрэзку падзел меў тыя ж пункты падзелу, што і і пункты

і з’яўляліся пунктамі падзелу , прычым . Адзначым, што , паколькі ўсе складнікі неадмоўныя. Такім чынам, маем

(1)

Паколькі інтэгравальная на , то пры і з (1) маем (). Згодна з крытэрам інтэгравальнасці інтэгравальная на . ■

5º. (адытыўнасць інтэграла) Калі функцыя інтэгравальная на , то

.

□ Няхай і з’яўляюцца адпаведна падзеламі адрэзкаў і , а тады ёсць падзел адрэзка . Калі ёсць выбарка з падзелу , а – выбарка з падзелу , то ёсць выбарка з адрэзку . З роўнасці , дзе і – інтэгральныя сумы функцыі адпаведна на адрэзках і , а – інтэгральная сума функцыі на адрэзку , вынікае патрэбнае сцверджанне. ■

Вынік. Калі функцыя інтэгравальная на ,

то .