Прыклад 1. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывымі і .

►

.◄

1.2) Плошча крывалінейнага сектара. Няхай крывая зададзена ў палярнай сістэме каардынатаў , дзе – непарыўная функцыя.

Плоскую  фігуру будзем называць крывалінейным сектарам.

Няхай – некаторы падзел адрэзку з дробнасцю падзела , а – некаторая выбарка пунктаў . Паколькі плошча кругавога сектара з радыюсам , які змяшчае цэнтральны вугал , роўная [атрымліваецца з прапорцыі ], то плошча крывалінейнага сектара набліжана роўная , дзе . Калі , то . Такім чынам

Прыклад 2. Вылічыць плошчу фігуры, абмежаванай крывой . ►Спачатку зробім рысунак фігуры

◄

Калі фігуру разглядаць у дэкартавай сістэме каардынатаў, то .

1.3) Для вылічэння плошчы крывалінейнай трапецыі, калі яе верхняя мяжа зададзена параметрычна , прычым , (тут важна , гэта будзе, калі ) трэба ў формуле зрабіць замену зменнай . Пры гэтым . Атрымаем

.

2º. Даўжыня крывой.

2.1) Разгледзім плоскую крывую , дзе – непарыўная на функцыя. Няхай – адвольны падзел адрэзка . Крывую падзелім пунктамі . Злучым суседнія пункты хордамі і атрымаем умежаную ў крывую ламаную, якую абазначым .

Няхай – даўжыня хорды гэтай ламанай, – даўжыня найбольшай з хордаў, а – даўжыня ламанай .

def. Лік называецца даўжынёй крывой і абазначаецца , калі . Пры гэтым кажуць, што лік ёсць ліміт даўжыняў ламаных , умежаных у крывую пры і пішуць . Крывую, якая мае даўжыню, называюць выпрастальнаю.

Дапусцім, што мае на непарыўную вытворную (г. зн. крывая гладкая). Няхай  – пункты падзелу крывой, . Тады , а

Калі , а таму

(1)

2.2) Няхай гладкая крывая зададзена параметрычна , , прычым – непарыўныя на і (у кожным пункце крывой павінна існаваць вытворная), г. зн. – манатонная. А паколькі , то – нарастальная, г. зн. . Калі ў (1) зрабіць замену , атрымаем

(2)

Калі , то ,

.

Атрымалі так званую формулу дыферэнцыяла дугі

Заўвага. Непарыўная крывая можа быць кавалкава-гладкаю. Тады яе даўжыня – сума даўжыняў гладкіх кавалкаў.

Прыклад 3. Вылічыць даўжыню адной аркі цыклоіды (акружына радыюса коціцца па восі абцысаў).

►

Маем раўнанне цыклоіды

◄

2.3) Калі крывая зададзена ў палярных каардынатах , прычым – непарыўная, то, ўлічваючы , маем параметрычнае заданне крывой . Паколькі

,

то . З формулы (2) маем

3º. Аб’ём цела авароту.

3.1) Разгледзім цела , якое атрымліваецца аваротам крывалінейнай трапецыі вакол восі , дзе функцыя непарыўная на .

Няхай – некаторы падзел адрэзка з дробнасцю падзела . На кожным адрэзку выберам і пабудуем прамавугольнік

Кожны прамавугольнік пры авароце вакол восі утворыць цыліндр, аб’ём якога . Тады аб’ём цела, атрыманага аваротам трапецыі вакол восі , набліжана роўны . Гэтую суму можна разглядаць як інтэгральную суму для функцыі з падзелам і выбаркай . Паколькі ёсць непарыўная на , то ліміт інтэгральнай сумы існуе і .

3.2) Разгледзім цяпер цкла, якое атрымліваецца аваротам крывалінейнай трапецыі вакол восі . Пункт выберам пасярод адрэзка , г.зн. . Элементарны аб’ём разгледзім як розніцу аб,ёмаў цыліндраў

.

Паколькі , то пры маем .

Заўвага. Калі праекцыя цела на вось ёсць адрэзак і фігура, якая атрымліваецца пры перасячэнні цела плоскасцю , мае плошчу , то аб’ём цела вылічаецца паводле формулы .