Прыклады. А) збежны, бо .
б)
разбежны, бо
.
в)
збежны, бо
нарастае хутчэй за любую ступень, таму
.
Такім чынам,
Практыкаванне.
Дакажыце, што
збежны пры
.
г)
збежны, бо
– лянівая функцыя, таму
.
Такім чынам,
.
Практыкаванне.
Дакажыце, што
збежны пры
.
def.
Неўласцівы інтэграл
называецца абсалютна
збежным,
калі ін-тэграл
ёсць збежны.
Заўвага
3.
З абсалютнай збежнасці НІ-1 вынікае яго
збежнасць, паколькі
,
г. зн. выконваецца крытэр Кашы.
§4.15. Умоўная збежнасць ні-1.
def.
Калі інтэграл
ёсць збежны, а
– разбежны, то інтэграл
называецца ўмоўна
збежным.
Тэарэма 1 (Прыкмета Дырыхле). Няхай функцыя ёсць непарыўная і мае абмежаваную першаісную на . Няхай функцыя ёсць непарыўна дыферэнцавальная і манатонная на і . Тады інтэграл – збежны.
□ Пераканаемся,
што для функцыі
выконваецца крытэр інтэгра-вальнасці
Кашы. Правядзем інтэграванне часткамі
Паколькі
абмежаваная, то
,
прычым
.
Такім чынам, маем
Паколькі
,
то
.
Таму
Згодна
з крытэрам Кашы інтэграл
– збежны. ■
Тэарэма 2 (прыкмета Абэля). Калі функцыя ёсць непарыўная на і – збежны, а функцыя абмежаваная і яе вытворная – непарыўная і не мяняе знаку на , то – збежны.
□ Доказ
вынікае з прыкметы Дырыхле. Паколькі
вытворная функцыі
не мяняе знаку, то яна манатонная на
,
а тады з яе абмежаванасці вынікае
існаванне ліміта
.
З роўнасці
вынікае:
дастаткова даказаць збежнасць
.
Паколькі
і функцыя
– манатонная,
то, каб скарыстацца прыкметаю Дырыхле,
дастаткова даказаць, што першаісная
для
ёсць абмежаваная.
Сапраўды,
паколькі інтэграл
– збежны, то існуе ліміт
,
а інтэграл
– першаісная для непарыўнай функцыі
ёсць функцыя непарыўная на любым адрэзку
.
Паколькі ліміт гэтай функцыі існуе на
,
то яна – абмежаваная на
.
■
Прыклад 1. Даследаваць на абсалютную збежнасць інтэграл .
► Першаісная
функцыі
ёсць
– абмежаваная, а функцыя
–
манатонная і бясконца малая на прамежку
.
Паводле прыкметы Дырыхле інтэграл
– збежны.
Даследуем
інтэграл на абсалютную збежнасць. З
няроўнасці
нічога не вынікае. Але
і пры гэтым інтэграл
паводле прыкметы Дырыхле ёсць збежны.
Калі б
інтэграл
быў збежны, то з няроўнасці
мелі б, што
– збежны, але ж ён разбежны. Такім чынам,
– разбежны, а інтэграл
– умоўна збежны.
◄
Прыклад 2. Даследуем інтэграл Фрэнэля на збежнасць.
►Запішам
падынтэгральную функцыю у выглядзе
.
Паколькі першаісная
– абмежаваная, а функцыя
манатонна імкнецца да нуля, то на падставе
прыкметы Дырыхле інтэграл Фрэнэля –
збежны.
Зазначым,
што інтэграл
– разбежны. ◄
§4.16. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый.
def.
Калі функцыя
ёсць неабмежаваная ў пункце
,
і інтэгравальная на кожным адрэзку
( упрыватнасці
ёсць абмежаваная на адрэзку
),
то пункт
называюць асаблівым
пунктам
функцыі
.
def. Ліміт
(1)
называюць
неўласцівым
інтэгралам ад неабмежаванай функцыі
на адрэзку
(або
неўласцівым
інтэгралам другога роду,
НІ-2) і абазначаюць
.
(2)
Калі існуе канечны ліміт (1), то Ні-2 (2) называюць збежным. Калі ж ліміт (1) не існуе, то кажуць, што інтэграл (2) ёсць разбежны.
Заўвага
1.
Калі
,
то інтэгралы
і
збягаюцца або разбягаюцца адначасова.
Заўвага 2. Формулу (2) бывае больш зручна запісваць у выглядзе
.
(3)
Аналагічна
азначаецца неўласцівы інтэграл
,
калі
ёсць асаблівы пункт функцыі
.
Калі ж
пункт
ёсць асаблівы пункт функцыі
,
і інтэгралы
і
– збежныя, то
=
+
.
Далей для пэўнасці мы будзем вывучаць НІ-2, якія азначаюцца формуламі (2), або (3).
Паміж НІ-1 і НІ-2 існуе пэўная сувязь.
Сапраўды,
няхай
ёсць інтэгравальная на
і
– яе асаблівы пункт. У інтэграле з (3)
зробім замену
і атрымаем
.
Такім чынам, прыходзім да роўнасці
.
Гэта
азначае, што для НІ-2 праўдзяцца
ўласцівасці, аналагічныя адпаведным
уласцівасцям для НІ-1, а на збежнасць
НІ–2 можна даследаваць як НІ–1, які
атрымліваецца з яго пасля замены
.
Прыклад 1.
Даследуем
на збежнасць
.
► Калі ў гэтым інтэграле зрабіць вышэй згаданую замену
,
то мы
прыходзім да інтэграла
,
які ёсць збежны толькі пры
або
.
Такім чынам, разгляданы намі інтэграл
ёсць збежны пры
і разбежны пры
.
У прыватнасці,
ёсць збежны толькі пры
.
◄
Аналагічна, як і для НІ-1 можна даказаць наступныя тэарэмы.
Тэарэма 1
(прыкмета
параўнання).
Няхай
.
Калі
ёсць збежны, то
таксама збежны. Калі ж
разбежны, то
таксама
разбежны
.
Тэарэма 2
(лімітавая
прыкмета параўнання).
Калі функцыі
і
і мае месца
то абодва інтэгралы
і
збягаюцца або разбягаюцца адначасова.
У прыватнасці гэта мае месца, калі
.
Вынік
Калі
,
то
збежны
толькі пры
.
Прыклад 1.
Даследуем
на збежнасць
.
► Паколькі
,
то
,
а таму
.
Такім чынам, інтэграл
разбежны, паколькі
.
◄
def.
НІ-2
называецца
абсалютна
збежным,
калі збягаецца інтэграл
.
З
абсалютнай збежнасці інтэграла вынікае
яго збежнасць.
def.
Калі НІ-2
ёсць збежны, а інтэграл
– разбежны то НІ-2 называецца ўмоўна
збежным.
Прыклад 3.
Даследуем
на збежнасць інтэграл
.
► Паколькі
,
то пабудуем для падынтэгральнай функцыі
эквівалентныя у пунктах
і
:
1).
– інтэграл збежны;
2).
– інтэграл разбежны.
Такім
чынам, інтэграл
ёсць разбежны. ◄
Прыклад 4.
Даследуем
на збежнасць інтэграл
.
► Паколькі
, то ў пункце
інтэграл збежны, а паколькі
,
то і ў пункце
інтэграл збежны. Такім чынам, інтэграл
збежны. ◄
Прыклад 5.
Даследуем
на збежнасць інтэграл
.
► Паколькі
, то першы інтэграл існуе як вызначаны,
а другі ёсць збежны паводле прыкметы
Дырыхле. Такім чынам, інтэграл збежны.◄
Прыклад 6.
Пры
якіх значэннях
інтэграл
ёсць збежны?
► Заўсёды разбежны. ◄