§4.8. Ацэнкі інтэгралаў.

1º. Калі функцыя інтэгравальная на і , то .

□ Паколькі пры кожным падзеле адрэзка і кожнай выбарцы мае месца , то пасля пераходу да ліміту пры атрымаем патрэбнае сцверджанне. ■

Вынік (манатоннасць інтэграла). Калі функцыі і інтэгравальныя на і , то .

□ Для функцыі праўдзяцца ўмовы з 1º. Таму

,

адкуль атрымліваецца патрэбная няроўнасць. ■

Заўвага. Калі функцыя інтэгравальная на , і існуе пункт , а функцыя непарыўная ў пункце , то .

2º. (інтэгравальнасць модуля) Калі функцыя інтэгравальная на , то функцыя таксама інтэгравальная на , прычым .

□ Разгледзім функцыю – непарыўную на ўсёй лікавай прамой. Таму функцыя інтэгравальная на згодна з тэарэмаю пра інтэгравальнасць складанай функцыі. З няроўнасці

на падставе ўласцівасці манатоннасці інтэграла і з інтэгравальнасці функцый маем

. ■

Заўвага. Калі функцыя інтэгравальная на адрэзку з канцамі і (г.зн. або , або ), то праўдзіцца няроўнасць .

3º. Калі функцыя інтэгравальная і абмежаваная на , г.зн. , то .

□ З інтэгравальнасці модуля і ўласцівассці манатоннасці інтэграла вынікае

. ■

§4.9. Інтэгральныя тэарэмы пра пасярэднія значэнні.

Тэарэма  (Абагульненая тэарэма пра пасярэдняе значэнне інтэгравальнай функцыі). Калі функцыі і ёсць інтэгравальныя на адрэзку , а функцыя не змяняе знаку на , то існуе лік , такі, што

. (1)

□ Няхай . Паколькі інтэгравальная на , то яна абмежаваная на , а г. зн. . Пры гэтым маем . Адсюль, паколькі , маем

Паколькі ёсць інтэгравальная на , то згодна з уласцівасцю манатоннасці інтэграла маем

. (2)

Калі пры гэтым , то таксама роўны нулю і роўнасць (1) праўдзіцца пры кожным .

Калі ж , то , і няроўнасць (2) можна падзяліць на гэты

інтэграл. Атрымаем . Абазначым . З гэтай роўнасці і атрымліваецца (1).

Калі ж , то для функцыі мае месца (1), г. зн.

.

Дамнажаючы абедзве часткі гэтай роўнасці на –1, атрымаем (1). ■

Вынік 1. (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне інтэгравальнай функцыі). Калі функцыя ёсць інтэгравальная на адрэзку , то існуе лік , такі, што

. (2)

□ Калі ў тэарэме 1 узяць , то атрымаем ■

Заўвага. Лік называецца сярэднім значэннем функцыі на .

Вынік 2 (Тэарэма пра пасярэдняе значэнне непарыўнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная, то існуе лік такі, што

□ Для функцыі f згодна з вынікам 1 мае месца формула (2), дзе . Паколькі f непарыўная на , то, на падставе другой тэарэмы Ваерштраса , дзе . Паколькі , то згодна з тэарэмаю Бальцана-Кашы аб прамежкавым значэнні непарыўнай функцыі . Падстаўляючы ў (1) замест значэнне , атрымаем (3). ■

Заўвага. Мы даказалі, што калі непарыўная на адрэзку , то – сярэдняе значэне функцыі на адрэзку .

§4.10. Інтэграл са зменнаю верхняю мяжою.

Калі функцыя ёсць інтэгравальная на , то існуе інтэграл

, (1)

які называюць інтэгралам са зменнаю верхняю мяжою. Разгледзім яго ўласцівасці.

Тэарэма (Непарыўнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою). Калі функцыя ёсць інтэгравальная на , то функцыя ёсць непарыўная на .

□ Няхай і . Тады

.

Адкуль . Гэта азначае, што , г. зн. ёсць непарыўная на . ■

Тэарэма Барроў (Дыферэнцавальнасць інтэграла са зменнаю верхняю мяжою). Калі функцыя ёсць непарыўная на , то функцыя ёсць дыферэнцавальная на _, прычым .

□ Як і ў папярэдняй тэарэме , , . Далей маем

■

Вынік. Калі функцыя ёсць непарыўная на , то на гэтым адрэзку мае першаісную, якою з’яўляецца .

□ Сапраўды, .■

§4.11. Метады вылічэння вызначанага інтэграла.