Тэарэма 1. Калі функцыя мае першаісную на прамежку т, а функцыя ёсць дыферэнцавальная на х, прычым , то

(1)

□ Дастаткова паказаць, што ёсць першаісная для падінтэгральнай функцыі. Паводле правіла дыферэнцавання складанай функцыі маем

. ■

Формулу (1) называюць формулай замены зменнай у нявызначаным інтэграле. Для яе практычнага выкарыстання больш зручным з’яўляецца наступны яе запіс

(2)

прычым пры гэтым кажуць, што выкарыстоўваецца метад паднясення пад дыферэнцыял.

Такім чынам, у табліцы інтэгралаў зменную інтэгравання х можна разглядаць як функцыю ад іншай зменнай.

Прыклад 1.

.

Прыклад 2.

,

або

Прыклад 3.

2º. Метад інтэгравання часткамі.

Тэарэма 2. Калі функцыі – дыферэнцавальныя на інтэрвале Х, а функцыя мае першаісную на гэтым інтэрвале, то функцыя таксама мае на Х першаісную, прычым

. (3)

□ Адпаведна правілу дыферэнцавання здабытку маем , адкуль . Паколькі для функцыі існуе першаісная, а для функцыі першаіснай з’яўляецца , то функцыя таксама мае першаісную, а таму

Канстанта С улучана ў нявызначаны інтэграл . ■

Формулу (3) звычайна выкарыстоўваюць у больш простым выглядзе

(4)

Прыклад 4. Вылічыць .

►◄

Прыклад 5. Вылічыць

► ◄

Іншы раз інтэграванне часткамі даводзіцца выкарыстоўваць некалькі разоў.

Прыклад 6. Вылічыць .

►

◄

Вылічэнне інтэгралаў ад функцый зводзіцца да лінейнага раўнання ў дачыненні да зыходнага інтэграла.

Прыклад 7. Вылічыць .

►

Прыйшлі да раўнання ◄

§4.3. Інтэграванне рацыянальных функцый.

Няхай – рацыянальная функцыя, дзе мнагасклады супеняў і . Калі (г. зн. рацыянальная функцыя ёсць няправільная), то згодна з тэарэмаю пра выяўленне мнагаскладу . Такім чынам, маем , г. зн. рацыянальную функцыю можна падаць як суму мнагаскладу і правільнай рацыянальнай функцыі. Мнагасклад інтэгруецца як сума ступеневых функцый. Што да правільнай рацыянальнай функцыі, то згодна з тэарэмаю пра раскладанне правільнай рацыянальнай функцыі на суму простых дробаў, нам дастаткова навучыцца інтэграваць простыя дробы:

1) ; 2) .

1а) (). .

1б) (). .

2) У інтэграле зробім замену зменнай ,

. Маем

А1)

А2)

В1)

В2) .

(1)

(2)

Падставім (2) у (1)

Адкуль атрымліваем (3)

– рэкурэнтную формулу для вылічэння інтэграла

Прыклад 1. Вылічыць .

► Паводле формулы (3) маем

.

Прыклад 2. Вылічыць .

► Метадам нявызначаных каэфіцыентаў раскладзем падынтэгральную функцыю на суму простых дробаў

.

Спосабам дамнажэння вылічаем канстанты :

,

.

Пры маем . Такім чынам, =

=. ◄

Заўвага. Калі назоўнік правільнай рацыянальнай функцыі мае кратныя корні, то пры вылічэнні інтэграла карыстаюцца метадам Астраградскага, паводле якога інтэграл шукаецца ў выглядзе

(4)

дзе – мнагасклад, які мае тыя ж корні, што і мнагасклад , але кратрасці 1, а . Пры гэтым функцыі – правільныя рацыянальныя функцыі з нявызначанымі ў лічніку каэфіцыентамі.

Каэфіцыенты мнагаскладаў вылічаюцца метадам адпаведных каэфіцыентаў з роўнасці, якая атрымліваецца пасля дыферэнцавання (4).

Прыклад 3. Вылічыць .

► Згодна з метадам Астраградскага запішам роўнасць

, пасля дыферэнцавання якой маем

.

З апошняй роўнасці метадам адпаведных каэфіцыентаў атрымліваем сістэму

адкуль Такім чынам, .

Канчаткова маем . ◄