Домашнее задание 6.

6.12. При делении многочлена на получается остаток 7, а при делении на – остаток 3. Найдите остаток от деления на .

6.13. Убедитесь в том, что число является решением уравнения и найдите остальные решения.

6.14. Определите кратность корня уравнения .

6.15. Представьте многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.

6.16. Разложите правильную рациональную функцию на сумму простых дробей: 1) ; 2) .

Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи

7.1. Для функции f(x) = найдите f(0), , , , .

7.2. Найдите , если: 1) ; 2) .

7.3. Пусть , , . Запишите формулы, задающие композиции: 1) fg; 2) gf; 3) fφg; 4) gφf ; 5) φgf .

7.4. Постройте графики функций: 1) y = ; 2) y=; 3) y=; 4) y=sgn(x–4).

7.5. Пусть = 2x – 1. Постройте графики функций: ; –, , , , .

7.6. Запишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой общего члена: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) , где , .

7.7. Запишите 5 первых членов последовательности, заданной рекуррентной формулой: , .

7.8. Являются ли ограниченными последовательности: 1) ; 2) ; 3) ?

Домашнее задание 7.

7.9. Постройте графики функций: 1) y = ; 2) y = x + ; 3) y = sgn(sinx); 4) y = cosx + .

7.10. Найдите формулу общего члена последовательности, у которой члены с чётными номерами равны 1, а члены с нечётными номерами равны 0.

7.11. Докажите, что следующие последовательности ограничены: 1) ; 2) .

7.12. Найдите точные верхнюю и нижнюю границы последовательности .

Занятие 8. Предел последовательности. Задачи

8.1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что

8.2. Докажите, что следующие последовательности являются бесконечно малыми 1)  (); 2) .

8.3. Докажите, что: 1) ; 2)  если .

8.4. Найдите предел последовательности: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8.5. Раскройте неопределённость (т.е. найдите предел последовательности ) путём предварительного деления числителя и знаменателя дроби на соответствующую степень или : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

8.6. Найдите пределы следующих иррациональных выражений, используя приём переведения иррациональности из знаменателя в числитель или из числителя в знаменатель: 1) ; 2) ; 3) .

Домашнее задание 8.

8.7. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что

8.8. Раскройте неопределённость (т.е. найдите предел последовательности ) путём предварительного деления числителя и знаменателя дроби на соответствующую степень или : 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8.9. Докажите, что последовательность сходится к пределу , если .

8.10. Найдите пределы следующих иррациональных выражений, используя приём переведения иррациональности из знаменателя в числитель или из числителя в знаменатель: 1) ; 2)