Задачи.

2.1. Докажите верность следующих равенств при всех натуральных : 1); 2); 3).

2.2. Докажите, что для всех действительных чисел имеет место неравенство .

2.3. Выясните, при каких натуральных n справедливы неравенства: 1) ; 2) .

2.4. Докажите неравенство Бернулли .

2.5. Докажите, что при каждом натуральном n число кратно числу b: 1) , b =9; 2) , .

Домашнее задание 2.

2.6. Докажите верность следующих равенств при всех натуральных : 1) ; 2) .

2.7. Докажите верность следующих неравенств при всех натуральных : 1) ; 2) .

2.8. Выясните, при каких натуральных n справедливо неравенство .

2.9. Докажите, что при каждом натуральном n число кратно числу 3.

Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.

1. Задачи, связанные с выбором тех или иных элементов из некоторого множества, называются комбинаторными. При решении таких задач руководствуются правилом умножения: если некоторый выбор А можно сделать m разными способами, а для каждого из этих выборов иной выбор В можно осуществить способами, то выбор А и В (в указанном порядке) можно сделать способами.

Каждое k– элементное подмножество n– элементного множества называется сочетанием из n элементов по k элементов. Количество всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается и вычисляется по формуле

(1)

Каждое упорядоченное k– элементное подмножество n–элементного множества называется размещением из n элементов по k элементов. Количество всех размещений из n элементов по k элементов обозначается и вычисляется по формуле

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов. Количество всех перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле .

2. Для действительных чисел а, b и каждого справедлива формула бинома Ньютона: , где коэффициенты называются биномиальными коэффициентами и вычисляются по формуле (1), а = 1. войство даёт возможность выписать биномиальные коэффициенты в виде таблицы, которую называют треугольником Паскаля:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...................

Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

►Посколко число делится на 5, то его последняя цифра должна быть 5. Остальные 5 цифр могт стоять на свободных пяти местах в произвольном порядке. Поэтому искомое количество шестизначных чисел равно 5! = 120. ◄

Задачи.

3.1. Вычислите .

3.2. Найдите натуральные решения уравнения .

3.3. Докажите: 1) ; 2) .

3.4. Сколько пятизначных чисел делятся на 5?

3.5. Сколько разных «слов» можно составить при помощи переставления букв в словах: 1) теорема; 2) доказательство; 3) математика?

3.6. Из 10 красных и 8 белых роз составляется букет, содержащий 2 красные и 3 белые розы. Сколько можно составить разных букетов?

3.7. Сколько диагоналей имеет выпуклый n – угольник?

3.8. Методом математической индукции доказать справедливость формулы бинома Ньютона .

3.9. Запишите разложение по формуле бинома Ньютона: 1) (x + y)⁶; 2) .

3.10. Найдите коэффициент разложения бинома: 1) при x³: 2) при x².

3.11. Сумма коэффициентов разложения бинома равна 1024. Найдите коэффициент разложения бинома при х¹¹.

3.12. Найдите коэффициент многочлена (1 + x + x²)³ при x³.

3.13. Найдите слагаемые разложения бинома , являющиеся целыми числами