Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи

16.1. Сделать на доске задание 15.11.

16.2. Вычислить производные следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) , ; 12) ,, .

16.3. Найдите производную функции в точке , если: 1) , =0; 2) , =.

16.4. Для функции вычислите и .

16.5. Исследуйте, является ли функция в точке : а) непрерывной; б) диффе ренцируемой?

16.6. Определите, при каких и функция является: а) везде непрерывной; б) везде дифференцируемой. Для этих значений и найдите производные этой фунции.

Домашнее задание 16.

16.7. Вычислить производные следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) , ; 7) ;

8) ; 9) , .

16.8. Найдите производную функции в точке .

16.9. Для функции вычислите и .

16.10. Исследуйте, является ли функция в точке : а) непрерывной; б) диффе ренцируемой?

16.11. Определите, при каких и функция является: а) везде непрерывной; б) везде дифференцируемой. Для этих значений и найдите производные этой фунции.

Занятие 17.

Дифференцирование обратных, неявных

и параметрических функций.

Задачи

17.1. Найдите производную функции, обратной к функции: 1); 2) в точке .

17.2. Найдите производную функции, заданной неявно: 1) ; 2) .

17.3. Найдите производную функции, заданной параметрически: 1) 2)

17.4. Найдите в точке дифференциал функции , заданной параметрически

17.5. Покажите, что функция , заданная неявно уравнением , удовлетворяет уравнению .

17.6. Найдите для функции , заданной в полярных координатах (спираль Архимеда).

17.7. Под каким углом пересекаются кривые и в точке ?

17.8. Для данной кривой в данной точке составьте уравнения касательной и нормали: 1) , ; 2) , , .

Домашнее задание 17.

17.9. Для данной кривой в данной точке составьте уравнения касательной и нормали: 1) , ; 2) , , .

17.10. Определите, в какой точке и под каким углом пересекаются кривые: 1) и ; 2) и .

17.11. Найдите дифференциал функции в данной точке: 1) , ; 2) , ; 3) , , .

Занятие 18.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Правило Лейбница.

Задачи

18.1. Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

18.2. Вычислите дифференциал второго порядка функции в точке .

18.3. Найдите для функции, заданной: 1) параметрически , ; 2) неявно .

18.4. Найдите і , если и – известные функции от , если: 1) ; 2) ; 3) .

18.5. Найдите для функции .

18.6. Найдите для функции .

18.7. Найдите функции .

18.8. Найдите (, , , , , , , – считаются известными) для функции .

Домашнее задание 18.

18.9. Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

18.10. Вычислите дифференциал второго порядка функции в точке .

18.11. Найдите для функции, заданной: 1) параметрически , ; 2) неявно .

18.12. Найдите і , если и – известные функции от , если .

18.13. Найдите для функции .

18.14. Найдите для функции .

18.15. Найдите функции .

18.16. Найдите (, , , , , , , – считаются известными) для функции .

Занятие 19. Правило Лопиталя.

Задачи

19.1. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ,; 5) ; 6) .

19.2. Найдите пределы, преобразовав предварительно выражения: 1) ; 2) ; 3) ,, .

19.3. Найдите пределы при помощи формулы : 1) ; 2)

19.4. Найдите: 1) ; 2) ; 3) .

Домашнее задание 19.

19.5. Найдите: 1) ,, ; 2) ; 3) ; 4) .

19.6. Найдите пределы, преобразовав предварительно выражения: 1) ; 2) .

19.7. Найдите пределы при помощи формулы : 1) ; 2) .

Занятие 20. Контрольная работа №2. Самоподготовка.

1) Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2) Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3) а) При каких функция непрерывна в точке ? б) Существует ли значение , при котором функция непрерывна в точке ? в) Существуют ли значения и , при которых функции и непрерывны на своих областях определения?

4) Вычислите производную: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

5) Напишите уравнения касательной и нормали к кривой : а) в точке ; б) в точке ; в) в точке .

6) Найдите: а) –ю производную функции ; б) для функции .