БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Виктор Ахраменко

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

1 семестр.

Методическое пособие по практическим занятиям для студентов первого курса

МИНСК

2011

Занятие 1. Множества. Суммирование.

1º. Множество – первичное (неопределяемое) понятие. Обозначают множества большими буквами A, B, C, X,...; – множество натуральных чисел, – целых, – рациональных, – действительных. Принадлежность элемента x множеству A обозначают xA; если x не является элементом A , то пишут xА. Используют также запись: , паказывающую, что являются элементами множества X (и только они); а также X={x: Р(x)}, которая характеризирует множество X как совокупность элементов x, удовлетворяющих условию Р(x).

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят: "А является подмножеством множества В" или " А содержится в В " и пишут АВ (или ВА). Два множества А и В называются равными (обозначают ), если они состоят из одних и тех же элементов: , если и тольки если и . Множество, не имеющее элементов, называется пустым и обозначается .

Операции над множествами определяются следующим образом: 1) пересечение множеств ; 2)объединение множеств ; 3) разность множеств .

2º. Сумма заданных чисел записвается . Буква называется индексом суммирования. Сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования, т.е. . Иногда возникает необходимость сдвинуть границы изменения индекса суммирования в ту или иную сторону. Например, . Операция суммирования имеет свойство линейности . Сумму склагаемых записвают в виде и называют двойной суммой. При этом имеет место равенство .

Пример. Вычислить сумму .

► Задачу о вычислении суммы , где – заданная функция, обычно рассматривают как задачу нахождения как функции от . Например, если , то

.

Посколку , то . ◄

Задачи

1.1. Даны множества . Используя операции объединения и пересечения, запишите множество, состоящее из элементов, принадлежащих: 1) всем трём множествам; 2) хотя бы одному множеству; 3) по крайней мере двум из этих множеств.

1.2. Пусть А – множество делителей числа 15; В – множество простых чисел, меньших 10; С – множество чётных чисел, меньших 9. Найдите множества: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

1.3. Укажите множества , , , , если: 1); 2); 3); 4); 5).

1.4. Укажите множество , если: 1) ; 2)где .

1.5. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.6. Верно ли равенство ?

1.7. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

1.8. Вычислить .

1.9. Вычислить: 1) ; 2) .

1.10. Вычислить 1) ; 2)  .

Домашнее задание 1.

1.11. Определите множества ; ; ; , если: 1); 2).

1.12. Определите множество , если: 1) ; 2) .

1.13. Вычислить: 1); 2) .

1.14. Вычислить.

1.15. Вычислить 1) ; 2)  .

Занятие 2. Метод математической индукции.

1º. Для доказательства истинности утверждения часто используют метод математической индукции : утверждение считают истинным при всех , если выполняются следующие два условия: 1) высказввание истинно при ; 2) из истинности высказывания следует истинность высказывания при всех натуральных k. Условие истинности высказывания , называется базой индукции, а предположение истинности высказывания – индуктивным соглашением. Если задачей обусловлено, что высказывание рассматривается начиная с некоторого числа (не с числа 1), то базой индукции является истинность высказывания , а индуктивное соглашение относится к произвольному натуральному k, .

Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .

►Нужно доказать равенство . (1)

Используем метод математической индукции.

1) Формула (1) правдзицца для n = 1, бо 1 = 1.

2) Пусть – произвольное натуральное число и для равенство (1) истинно, т.е. . Докажем, что из этого следует истинность (1) при . Действительно, .

Это означает, что равенство (1) доказано для каждого натурального n. ◄

Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство

. (2)

► Утверждение, которое можно было бы доказвать методом математической индукции явно не сформулировано. По этой причине выясним закономерность соотношения величин и . Придадим последовательно числу n значения и получим соответственно . Таким образом, можно высказать гипотезу: неравенство (2) верное при каждом натуральном . Докажем это утверждение.

1) Истинность базы индукции для уже доказана.

2) Допустимпусцим, что неравенство (2) верно при произвольном , т.е. . (3)

Используя неравенство (3), докажем верность неравенства . (4)

Исходя из неравенства (3), имеем . Если мы покажем что , то это и будет означать верность неравенства (4). Действительно, последнее неравенство равносильно неравенству , или , которое при является верным, а тем самым верно и неравенство (4). Согласно методу математической индукции мы доказали, что неравенство (2) верно при всех , а также убедились в его верности при n=1. ◄