- •Глава 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними
- •§ 2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •§ 3. Понятие матрицы и определителя. Свойства определителей
- •4. (Правило сложения определителей).
- •§ 4. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис
- •§ 5. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
§ 2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
, . Учитывая это, комплексное число можно записать в виде
(1)
Формула (1) дает еще одну форму записи комплексного числа - тригонометрическую. При этом называется модулем комплексного числа, а угол - аргументом комплексного числа. Заметим, что угол определяется не однозначно, а с точностью до периода , поэтому вводят понятие главного значения аргумента -. Так что , .
Будем считать, что , тогда
где
Пример 1. Представить числа , в тригонометрической форме.
Решение.
Умножим два комплексных числа, записанные в тригонометрической форме.
(2)
Как видно из формулы (2), при умножении чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Правило это распространяется на любое число сомножителей. В частности, если получим
(3)
Формула (3) называется формулой Муавра.
Аналогично можно убедиться, что при делении чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются (убедиться в этом самостоятельно).
Рассмотрим действие извлечения корня n-ой степени (n – натуральное) из комплексного числа. Предположим, что в результате извлечения этого корня получится опять некоторое комплексное число.
Найдем неизвестные и . Для этого возведем обе части полученного равенства в n-ю степень. Используя формулу Муавра, получим, что
(4)
Равные комплексные числа имеют равные модули, а аргументы отличаются на . Поэтому из (4) следует
; .
Итак, (5)
Можно убедиться, что формула (5) дает ровно n различных корней при .
Пример 2. Найти .
Решение.
При получаются корни
,
, .
При k = 3 что совпадает с . Все последующие корни будут повторяться, так что различных корней будет только три.
Положим по определению для всех вещественных y
(6)
Формула (6) называется формулой Эйлера, – иррациональное число, основание натурального логарифма. Используя формулу Эйлера и предполагая верными обычные правила действия со степенями, найдем
(7)
Замечание 1. Формула (7) определяет функцию комплексного переменного z . Функция эта периодическая с периодом .
Действительно,
т.е..
Используя формулу Эйлера, получим еще одну форму записи комплексного числа- показательную.
(8)
Назовем логарифмом числа z комплексное число такое, что Таким образом, Пусть тогда
. (9)
Найдем модуль и аргумент числа .
Тогда очевидно Из равенства комплексных чисел (9) получим Следовательно,
. (10)
Замечание 2. Формула (10) определяет функцию комплексного переменного правда, эта функция многозначна, т.к. одному значению аргумента z она ставит в соответствие бесконечное множество значений функции.
Можно убедиться в справедливости обычных правил логарифмирования. В частности , . Однако, в силу многозначности логарифмической функции .
Пример 3. Найти
Решение. Согласно формуле (10)
Рассмотрим теперь возвышение комплексного числа в любую комплексную степень. По определению положим
. (11)
Пример 4. Найти
Решение. Согласно формуле (11) и результату примера 3, получим
Пример 5. Найти
Решение.