друга моменты времени. Таким образом, на выходе устройства дискретиза-

Р

ции формируется дискретный во времени сигнал с континуумом значений.

Дискретный сигнал позволяет по выборкам точно восстановить исход-

И

ный аналоговый сигнал. Процесс дискретизация сигнала и его восстановле-

ния базируется на теореме В. А. Котельникова.

У

Г

4.1.2. Представление аналоговых сигналов в дискретной форме

Б

Пусть s(t) − некоторый произвольный

н логовый сигнал с ограничен-

ным спектром, определяемым в общ мавиде комплексной функцией угловой

частоты S( ) S( j ) . Модуль сп

ктральной

плотности сигнала обозначим

е

как S( ) . Для сигнала с огранич нным спектром двухсторонняя спектраль-

ная плотность S( ) при | | m равна нулю.

Угловая частота m 2 fm

называется граничн й час

й спектра сигнала s(t) , а сам сигнал – низкоча-

стотным. Понят е «н зкаячастота» в данном случае является относитель-

ным, но не абсолютнымо. Для сигнала, формируемого датчиком температуры

воздуха на метеостанц ,

граничная частота

будет порядка 10–3 Гц, для

и

аудиосигна ов – ~20 кГц, для телевизионного сигнала в классических веща-

тельных системах – ~6 МГц. Во всех указанных примерах сигналы называ-

л

ются «н зкочастотными», в англоязычной литературе – «baseband signals». В

русскоязычнойблитературе иногда можно встретить понятие «видеосигнал».

Каждые T секунд у сигнала берутся выборки, т. е. в данные моменты

и

времени определяются мгновенные значения сигнала, в результате чего фор-

Р

И

У

Г

ного сигнала, не

Б

д 2 m

или

перекрываясь тольков том случае, если

Рис. 4.1. Преобразование

при дискретизации сигнала

д

m

е

Спектр S( )

исходного сигналаспектраповторяется в спектре Sд ( ) дискрет-

f

2 f

част

. Из рисунка видно, ч о восстановление аналогового сигнала из дис-

о

кретного возможно пу ѐм пропускания последнего через идеальный фильтр

и

нижних частот (ФНЧ)

с

той среза, заключѐнной в диапазоне от fm до

fд

fm

. В опт мальн м случае частота среза должна находиться посередине

л

быть равной fд

2 .

указанного интерва а

Передаточная функция идеального ФНЧ определяется выражением

и

б

T ,

| | m ;

Б

KФНЧ ( )

| | m ,

(4.5)

0,

где m T . Следовательно,

S( ) Sд ( )KФНЧ ( ) .

(4.6)

h

(t)

sin mt

.

(4.7)

ФНЧ

mt

sin mt

s(t) sд (t) hФНЧ (t) s(kT ) (t kT )

mt

k

(4.8)

sin m (t kT )

Р

s(kT )

m (t kT )

.

k

И

д

Полученное выражение совпадает с общей записью теоремы Котельни-

m

У

кова.

Теорема В. А. Котельникова

налагает условие ограниченности на

нием 3,4 кГц, однако частота дискр тизациик

выбирается равной не 6,8 кГц, а

вая в спектре дискретного сигнала

оторый з щитный интервал. Например,

не

траспе

в телефонии верхняя граничная частота

сигнала определяется значе-

Особым

является дискретизация гармонического колебания с

частотой f0

го

. Здесь пр нц пиально необходимо, чтобы частота дискретиза-

ции была

и

fд 2 f0 , как того требует теорема

fд 2 f0

, а не

В. А. Котельникова. Если частота дискретизации будет точно равна удвоен-

случаем

б

и

а нижняя частота спектрального фрагмента S

f

kf

была не меньше, чем

д

(k 1) f

д

f

f ;

1

1

Р

f2 ,

(4.11)

kfд f2

где k – натуральное число.

И

Так как f1 f2 f

, то выражение (4.11) можно привести к виду

Г

1 k

f2

kfд

У

.

Б

(4.12)

f

2 f

Или

k 1

fд

f

2

1.

(4.13)

2

f

f

Минимально возможная допустимаячастота дискретизации полосового

сигнала определяется выражени м

к

т

2 f2

f

,

(4.14)

д minе

f

означает

f

2

где операция

X

перацию округления числа X до ближайшего

и

целого, не превышающего X.

л

На рис. 4.3 пр ведено пространство допустимых частот дискретизации

полосового сигна а в зав симости от отношения верхней граничной частоты

б

спектра сигна а к по осе занимаемых им частот. Заштрихованные области

и

соответствуют недопустимым значениям частоты дискретизации полосового

сигнала.

Б