Глава 2. Sdre-метод синтеза управляющих воздействий

§ 2.1. Постановка задачи

Проблема управления линейными объектами (Linear Quadratic Regulator, LQR) в различных постановках с квадратичными критериями качества с постоянными матрицами штрафа хорошо изучена, и разработанные алгоритмы математического конструирования регуляторов широко используются при решении практических задач. В основе синтеза оптимальных управлений лежат, в зависимости от задачи, дифференциальное или алгебраическое уравнения Риккати (Differential Riccati Equations, DRE; Algebraic Riccati Equations, ARE). Теоретические основы решения линейно-квадратических задач в ряде случаев могут быть применены при синтезе управляющих воздействий для нелинейных систем.

Одним из многообещающих и быстро развивающихся методов для проектирования нелинейных регуляторов является уравнение Риккати, параметры которого зависят от состояния объекта и матриц штрафа функционала качества (State Dependent Riccati Equations, SDRE). Впервые проблема управления нелинейными объектами с их эквивалентном представлением в виде линейных моделей (State Dependent Coefficient, SDC) с параметрами, зависящими от состояния, и функционалами, матрицы штрафа которых также зависят от состояния объекта, была сформулирована в начале 60-ых годов 20-го столетия [41]. Разработка предложенного метода была продолжена в работах [38, 39]. С конца 90-х годов метод привлекает все большее внимание со стороны ученых и практиков.

Преобразование исходного нелинейного дифференциального уравнения, которое описывает исходную систему управления, в систему с линейной структурой, но с параметрами, зависящими от состояния, и использование квадратичного функционала качества позволяют при синтезе управления осуществить переход от уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана к уравнению типа Риккати с параметрами, зависящими от состояния. Это и составляет основу SDRE-метода синтеза оптимальных нелинейных систем управления.

К концу первой декады 21-го столетия появилось не только многообразие опубликованных теоретических работ, но и примеры успешного использования SDRE-метода при построении систем управления подвижными объектами, производственными и экологическими системами. К этим примерам относятся решения задач управления искусственной человеческой поджелудочной железой, контроля положения космического корабля, химического реактора и многие другие.

В рамках 17-го Симпозиума IFAC по Автоматическому управлению в Космосе 2007 (Тулуза, Франция) была организована специальная секция, на которой обсуждалось состояние и перспективы развития теории и практики SDRE-метода проектирования управлением нелинейными объектами [22, 28, 37]. Работы, в которых рассматривались вопросы применения этого метода, можно увидеть и среди докладов 17 (2008, Сеул) и 18 (2011, Милан) конгрессах IFAC.

Несмотря на имеющиеся достаточно убедительные примеры применения SDRE-метода, остается множество проблем, связанных с ограничениями, накладываемыми на систему, неоднозначностью эквивалентных преобразований исходной системы, построение эффективных алгоритмов решений матричных уравнений Риккати с параметрами, зависящими от состояния, в темпе функционирования системы управления.

В данной книге задача управления нелинейным объектом, подвергающимся воздействию неконтролируемых возмущений, будет рассматриваться в более общем виде, а именно в ключе дифференциальной игры, что позволит обобщить ряд ранее опубликованных теоретических результатов. Это позволит получить достаточно конструктивные решения в ряде постановок задач управления. Такой класс задач принято относить к управлениям с гарантирующим результатом.

Пусть нелинейный управляемый и наблюдаемый объект описывается векторным дифференциальным уравнением

(2.1)

Здесь − интервал ; −область (открытое связанное множество) , содержащая начало; −состояние системы; , − область возможных начальных состояний системы; − выход системы; −управление, подлежащее нахождению; −неизвестное возмущение; матрицы действительны и непрерывны. Предполагается, что при всех пары и являются управляемыми, пара наблюдаемой. Кроме того, функции будем предполагать достаточно гладкими, чтобы через любые проходило одно и только одно решение (2.1) и был бы единственный соответствующий выход системы .

Рассматривая задачу синтеза закона управления, как дифференциальную игру двух игроков и на , введем функционал

(2.2)

Матрицы могут быть положительно полуопределенными; матрицы − положительно определенные. Дополнительным требованием является требование детектируемости. Предположим, что пара детектируема при всех . Требования к значениям параметров матриц будут определены далее.

Задача заключается в построении для игроков и оптимальных стратегий с обратной связью, реализуемых в темпе функционирования объекта. Ограничения на управляющие воздействия учитываются при назначении матриц и .