Тригонометрическая и показательная формы
Если
вещественную x и
мнимую y части
комплексного числа выразить через
модуль r =
| z | и
аргумент 
(
, 
),
то всякое комплексное число z,
кроме нуля, можно записать
в тригонометрической
форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где 
—
расширение экспоненты для
случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
Арифметические
операции c комплексными числами определяются
следующим образом:
если
то
Понятие функции комплексного переменного
Определение
Пусть G область
в комплексной плоскости C. Если
каждой точке 
поставить
в соответствие единственное комплексное
число 
,
то говорят, что на области 
задана
однозначная функция комплексного
переменного
и обозначается 
Область G называется областью
определения функции, z –аргумент
функции, 
значение
функции в точке z.
Если
каждому z ставится
в соответствие несколько значений 
,
то на области 
задана
многозначная функция комплексного
переменного.
Например, 
–
однозначная функция; 
–
многозначная функция.
Замечание. Так
как задание комплексного числа z равносильно
заданию двух действительных
переменных x иy, то
числу 
тоже
соответствуют два действительных
числа u и v: 
Тогда
зависимость 
равносильна
двум зависимостям u = u(x,y), v = v(x,y), т.
е. комплексная
функция комплексного переменного
определяется двумя действительными
функциями двух действительных
переменных:
Пример. Найти
действительную 
и
мнимую 
части
значений функций: а) 
;
б) 
.
Решение.
а)
Запишем комплексное число z в
алгебраической форме: 
Таким
образом 
.
б) Запишем комплексное число z в алгебраической форме:
.
Поэтому 
, 
.
Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связываеткомплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:
,
где e — основание натурального логарифма,
i — мнимая единица.
При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом:
,
.
Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть x = iy, тогда:
,
.
Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:
eiπ + 1 = 0
является частным случаем формулы Эйлера при x = π.
Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что
|
Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень вполе комплексных чисел. |
Эквивалентная формулировка теоремы следующая:
|
Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. |
Следствие
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно nкорней, с учётом кратности корней.
Доказательство. У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x − a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель.