Площадь плоской фигуры

Определённый интеграл как площадь фигуры

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и горизонтальной осью, может быть вычислена какопределённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале [a,b] находится как разность определённых интегралов от этих функций.

В полярных координатах: площадь, ограниченная функцией r = r(θ), вычисляется по формуле:

.

Вычисление объема тела по заданной площади поперечного сечения.

Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для  известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.   Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x ₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x = x_n = b на n слоёв (a = x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i-1 и x = x_i приближённо равен объёму  цилиндрика с площадью основания  и высотой : . Сумма объёмов  - объём ступенчатой фигуры - при  стремится к искомому объёму V, поэтому .

Вычисление объема тела вращения.

Теорема. Если f(x) 0 непрерывна на [a,b] , то тело, полученное вращением графика функции вокруг оси x кубируемо и его объем равен

 Доказательство. Для заданного  рассмотреть достаточное мелкое разбиение ={a=x0<x1<…<xn=b} и два ступенчатых тела на основании сумм Дарбу исходной функции, составленных из круговых цилиндров высотой xk+1 - xk и радиусов mk=, Mk=. Объем этих тел будут равны s(F,), S(F,), F(x)= f 2(x) . Одна из этих кубируемых областей будет вписана в тело вращения, а другая описана. Разность объемов можно сделать сколь угодно малой, что следует из интегрируемости функции F(x).

Справедлива более общая теорема (без доказательства).

Теорема. Если область D проектируется на отрезок [a,b] оси x и любое сечение этой области плоскостью перпендикулярной оси x квадрируемо, а площадь этого сечения S(x) является интегрируемой функцией, то исходная область кубируема и ее объем равен

D=

Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть известна функция  и требуется найти длину дуги, заданной функцией  , где  .

Для определения длины дуги  необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где  . В этом случае для определения длина дуги  вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах  где . Тогда для определения длины дуги  вычисляется следующий определенный интеграл:

Вычисление площади поверхности тела вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)   (- длина окружности кольца,  - его ширина).  Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности  вокруг оси Ox.  Решение: .

4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

4.1.Мнимая единица. Комплексное число. Комплексно сопряженные числа. Геометрическое представление комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами. Понятие о функции комплексного переменного. Формула Эйлера. Основная теорема алгебры.

Мнимая единица — комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до полякомплексных чисел. Точное определение зависит от способа этого расширения.

Основной причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x) = 0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Например, уравнение x² + 1 = 0 не имеет вещественных корней. Однако если предположить, что корнями являются комплексные числа, тогда это уравнение, как и любое другое полиномиальное уравнение, имеет решение.

Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1. Таким образом i — это решение уравнения

или

Если мы определим i таким образом и будем считать ее неизвестной («воображаемой», «мнимой») переменной, тогда вторым решением уравнения будет − i, что можно проверить подстановкой.

Ко́мпле́ксные чи́сла, — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица^[2].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

Сопряжённые числа. Если комплексное число z = x + iy, то число  называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z ^* ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

•  (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

• 

• 

• 

• 

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу  сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

• Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

• В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной суммесоответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».