- •1.Определенный интеграл.
- •1.1.Определение первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от элементарных функций.
- •2. Определенный интеграл.
- •2.2. Замена переменной. Интегрирование по частям.
- •2.3. Интеграл с переменным верхним пределом.
- •2.4. Приближенное вычисление определенного интеграла.
- •2.5. Понятие о несобственных интегралах.
- •Площадь плоской фигуры
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •Следствие
- •Доказательство
- •5. Функция нескольких переменных.
- •5.1. Определение функции нескольких переменных. Область определения и множество значений. Непрерывность. Частные производные полный дифференциал. Экстремумы.
- •5.2. Подбор эмпирических формул с помощью метода наименьших квадратов.
- •6.1. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Общее и частное решение. Задача Коши. Краевая задача.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида и .Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.3. Использование дифференциальных уравнений первого порядка при решении некоторых биологических задач(задача о росте численности популяций, задача о переводе вещества в раствор).
- •6.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •7 Элементы теории вероятностей.
- •7.1 Достоверное, невозможное и случайное событие. Классическое определение вероятности реализации некоторого события. Статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
- •7.2 Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Сумма событий. Вероятность суммы событий.
- •7.3 Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения событий.
- •7.4 Формула полной вероятности. Формула Бейеса вероятностей гипотез.
1.Определенный интеграл.
1.1.Определение первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от элементарных функций.
Первообра́зной данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию F(x) называют первообразной функции f(x) . Первообразная функции f(x) определяется с точностью до постоянной величины.
Свойства неопределённого интеграла:
Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, тоКороче: постоянную можно выносить за знак интеграла.
Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , тоКороче: интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка: Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:
Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Интегралы от элементарных функций:
1.2.Некоторые приемы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям; интегрирование дроби, знаменатель который является квадратным трехчленом; интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
Формула замены переменной. Пусть имеет смысл сложная функция , где Х изменяется на некотором интервале. Тогда (1.3)
(В левой части после вычисления интеграла сделана подстановка .) Для доказательства обозначим через F(u) некоторую первообразную для f(u) и через G(x) -- первообразную для . Это означает, что и . Доказываемое равенство (1.3) эквивалентно тогда такому: или Для доказательства последнего соотношения достаточно проверить. что совпадают производные левой и правой частей. Но по формуле производной сложной функции получаем: то есть то же, что и . Формула (1.3) доказана. Заметим, что выражение в правой части (1.3) есть не что иное, как дифференциал du(x) функции . Так что мы можем записать (1.3) в виде
Теперь, после этого доказательства, мы получили право трактовать в обозначении неопределённого интеграла как некоторый дифференциал, а не просто как элемент обозначения интеграла, вроде скобки.
Формула интегрирования по частям. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производную на рассматриваемом интервале изменения x . Тогда верно равенство (1.5) Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет "перебрасывать" производную с функции g(x) , стоящей под знаком интеграла, на другой подынтегральный множитель f(x) . При этом в правой части равенства появляется внеинтегральный член f(x)g(x) .
Пусть F(x) -- первообразная для и G(x) -- первообразная для . Тогда равенство (1.5) можно записать в виде
где G-- некоторая постоянная. Докажем, что производные левой и правой частей совпадают. По определению, . С другой стороны,
то есть производные совпадают, и формула (1.5) доказана. Мы видим, что она является следствием формулы для производной произведения.
Вводя обозначения и и замечая, что и , мы можем записать формулу интегрирования по частям в виде .
Интегрирование рациональных дробей:
Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов. Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где Aij,αlt,βlt — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Интегрирование тригонометрических функций:
1°. Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических формул
2°. Интегралы вида
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени
Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
4°. Интегралы вида
где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки при этом
Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом