
- •1.Определенный интеграл.
- •1.1.Определение первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от элементарных функций.
- •2. Определенный интеграл.
- •2.2. Замена переменной. Интегрирование по частям.
- •2.3. Интеграл с переменным верхним пределом.
- •2.4. Приближенное вычисление определенного интеграла.
- •2.5. Понятие о несобственных интегралах.
- •Площадь плоской фигуры
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •Следствие
- •Доказательство
- •5. Функция нескольких переменных.
- •5.1. Определение функции нескольких переменных. Область определения и множество значений. Непрерывность. Частные производные полный дифференциал. Экстремумы.
- •5.2. Подбор эмпирических формул с помощью метода наименьших квадратов.
- •6.1. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Общее и частное решение. Задача Коши. Краевая задача.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида и .Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.3. Использование дифференциальных уравнений первого порядка при решении некоторых биологических задач(задача о росте численности популяций, задача о переводе вещества в раствор).
- •6.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •7 Элементы теории вероятностей.
- •7.1 Достоверное, невозможное и случайное событие. Классическое определение вероятности реализации некоторого события. Статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
- •7.2 Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Сумма событий. Вероятность суммы событий.
- •7.3 Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения событий.
- •7.4 Формула полной вероятности. Формула Бейеса вероятностей гипотез.
1.Определенный интеграл.
1.1.Определение первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от элементарных функций.
Первообра́зной данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Неопределенным
интегралом
называется функция F(x)
+ C,
содержащая произвольное постоянное
C,
дифференциал которой равен подынтегральному
выражению f(x)dx,
т.е.
или
Функцию
F(x)
называют первообразной функции f(x)
. Первообразная функции f(x)
определяется с точностью до постоянной
величины.
Свойства неопределённого интеграла:
Если
функция f
( x
) имеет первообразную на промежутке
X,
и k
– число, тоКороче:
постоянную можно выносить за знак
интеграла.
Если
функции f
( x
) и g
( x
) имеют первообразные на промежутке
X
, тоКороче:
интеграл суммы равен сумме интегралов.
Если
функция f
( x
) имеет первообразную на промежутке X
, то для внутренних точек этого промежутка:
Короче:
производная от интеграла равна
подынтегральной функции.
Если
функция f
( x
) непрерывна на промежутке X
и дифференцируема во внутренних точках
этого промежутка, то:
Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.
Интегралы от элементарных функций:
1.2.Некоторые приемы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям; интегрирование дроби, знаменатель который является квадратным трехчленом; интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
Формула
замены переменной.
Пусть имеет смысл сложная функция
, где Х изменяется на некотором
интервале. Тогда
(1.3)
(В
левой части после вычисления интеграла
сделана подстановка
.) Для доказательства обозначим через
F(u)
некоторую
первообразную для f(u)
и через G(x)
-- первообразную для
. Это означает, что
и
. Доказываемое равенство (1.3) эквивалентно
тогда такому:
или
Для доказательства последнего
соотношения достаточно проверить. что
совпадают производные левой и правой
частей. Но по формуле производной
сложной функции получаем:
то есть то же, что и
. Формула
(1.3) доказана. Заметим,
что выражение
в правой части (1.3) есть не что иное, как
дифференциал du(x)
функции .
Так
что мы можем записать (1.3) в виде
Теперь, после этого доказательства, мы получили право трактовать в обозначении неопределённого интеграла как некоторый дифференциал, а не просто как элемент обозначения интеграла, вроде скобки.
Формула
интегрирования по частям.
Пусть функции f(x)
и g(x)
имеют производную на рассматриваемом
интервале изменения x
. Тогда верно равенство
(1.5)
Эта формула называется формулой
интегрирования по частям. Она позволяет
"перебрасывать" производную с
функции g(x)
, стоящей под знаком интеграла, на другой
подынтегральный множитель f(x)
. При этом в правой части равенства
появляется внеинтегральный
член
f(x)g(x)
.
Пусть
F(x)
-- первообразная для
и
G(x)
-- первообразная для
. Тогда равенство (1.5) можно записать в
виде
где
G--
некоторая постоянная. Докажем, что
производные левой и правой частей
совпадают. По определению,
.
С другой стороны,
то есть производные совпадают, и формула (1.5) доказана. Мы видим, что она является следствием формулы для производной произведения.
Вводя
обозначения
и
и замечая, что
и
, мы можем записать формулу интегрирования
по частям в виде
.
Интегрирование рациональных дробей:
Неопределенный
интеграл от любой рациональной дроби
на всяком промежутке, на котором
знаменатель дроби не обращается в ноль,
существует и выражается через элементарные
функции, а именно он является алгебраической
суммой суперпозиции рациональных
дробей, арктангенсов и рациональных
логарифмов. Сам метод заключается в
разложении рациональной дроби на сумму
простейших дробей. Всякую правильную
рациональную дробь
,
знаменатель которой разложен на
множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где Aij,αlt,βlt — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Интегрирование тригонометрических функций:
1°. Интегралы вида
находятся с помощью тригонометрических формул
2°. Интегралы вида
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени
Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
3°.
Если m
= -m,
n
= -l
- целые отрицательные числа одинаковой
четности,
то
В
частности, к этому случаю сводятся
интегралы
4°. Интегралы вида
где
R
- рациональная функция от sinx
и cosx,
приводятся к интегралам от рациональных
функций новой переменной с помощью
подстановки
при этом
Если
R{-sin
x,
cosx)
= R(sinx,
cosx),
то целесообразно применить подстановку
tgx
= t.
при этом