4 Решение многокритериальных задач методом интегральных критериев

Экономическая эффективность производства измеряется системой экономических показателей. В качестве критериев эффективности могут выступать чистый доход, прибыль, рентабельность

Задачи, решаемые с учетом нескольких критериев, называются многокритериальными, или задачами с векторным критерием. Как правило, достижение оптимальных значений по всем критериям не представляется возможным, поскольку критерии часто бывают противоречивыми. Например, в стремлении приобрести товар получше и подешевле покупатель сталкивается с тем, что товар, подходящий по цене, не устраивает по качеству, а высокое качество товара поднимает и цену. Поэтому, когда говорят о решении многокритериальной задачи, имеют в виду достижение компромисса между изначально противоречивыми требованиями.

Постановка задачи. Имеется m объектов A₁, A₂, …, A_m, оцениваемых по n критериям z₁, z₂, …, z_n.

Таблица 4 – Оценка альтернатив по нескольким критериям

Критерии Объекты	z1	z2	…	zn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

где a_ij – оценка i-го объекта по j-му критерию. Критерии z_j () называются частными критериями оптимизации.

В случае многокритериальных задач перед тем, как применять выбранный метод решения, необходимо произвести процедуру отсеивания худших вариантов – тех, которые уступают другим по одному или нескольким критериям.

Альтернатива А_i называется доминирующей по отношению к альтернативе А_k, если по всем критериям оценки альтернативы А_i не хуже, чем альтернативы А_k, а хотя бы по одному критерию оценка А_i лучше. При этом альтернатива А_k называется доминируемой.

Сравнивая все альтернативы попарно, исключают те из них, которые доминируются хотя бы одной из оставшихся альтернатив. Тогда оставшиеся (недоминируемые) альтернативы составят множество Парето. В задачах многокритериальной оптимизации решение следует искать среди элементов множества Парето. Альтернативы, попавшие во множество Парето, называют также эффективными решениями.

Существует несколько методов решения многокритериальных задач. Рассмотрим метод интегральных критериев. Он заключается в «сворачивании» нескольких частных критериев оптимизации в один, интегральный.

В тех случаях, когда частные критерии оптимизации имеют различную размерность или одни из критериев максимизируются, а другие минимизируются, исходную матрицу оценок А необходимо пронормировать. Элементы нормированной матрицы Х вычисляются по формуле (7), если критерий z_j максимизируется, и по формуле (8), если минимизируется.

. (7)

. (8)

Нормированная матрица обладает следующими свойствами:

- все ее элементы попадают в диапазон [0,1];

- элемент, имеющий лучшее значение в исходной матрице, в нормированной матрице равен 1.

При выборе интегрального критерия возможны две ситуации:

1. для ЛПР все критерии одинаково важны;

2. одни критерии имеют более высокий приоритет, чем другие.

В первом случае используют аддитивный или мультипликативный критерии. Они вычисляются следующим образом.

- аддитивный критерий.

- мультипликативный критерий.

В случае, когда частные критерии оптимизации неравнозначны для ЛПР, им назначаются весовые коэффициенты _i путем проведения процедуры экспертного оценивания группой экспертов или только одним экспертом - ЛПР. Весовые коэффициенты рассчитываются таким образом, что выполняется соотношение

.

Используемые в этой ситуации интегральные критерии определяются так:

- аддитивный критерий с учетом весомости частных критериев оптимальности.

- мультипликативный критерий с учетом весомости частных критериев оптимальности.

На практике выбор интегрального критерия осуществляет ЛПР, исходя из собственных предпочтений. Наилучшим вариантом будет считаться тот, который получит максимальную оценку по интегральному критерию. Таким образом, задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче однокритериальной оптимизации.

Пример. Руководство организации планирует строительство нового офиса. Были разработаны 4 альтернативных варианта проекта, оцениваемых по следующим показателям (таблица 5). Выбрать лучший проект.

Наряду с получением переходной матрицы Р важна и другая задача – вычисление вероятности того, что система перейдет из состояния S_i в состояние S_j. Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей (4) и переходная матрица (5), то вероятности

Таблица 5 - Исходные данные

Проекты	Сметная стоимость, т.руб. (z1)	Трудоемкость, чел.-дн. (z2)	Продолжительность стр-ва, мес. (z3)	Коэффициент использования территории (z4)
1	950	9800	10,4	0,74
2	970	10200	11,2	0,65
3	910	8400	12,5	0,47
4	890	11500	12,0	0,71
Оптимальные значения	min	min	min	max

Вычислим нормированные значения показателей, пользуясь формулами (7) и (8). Полученные значения запишем в таблицу 6.

Таблица 6 – Нормированные значения показателей

Проект	z1	z2	z3	z4
1	0,94	0,86	1,0	1,0
2	0,92	0,82	0,93	0,88
3	0,98	1,0	0,83	0,64
4	1,0	0,73	0,87	0,96
Веса критериев	0,30	0,28	0,24	0,18

Первая альтернатива доминирует вторую. Остальные альтернативы являются недоминируемыми. Следовательно, во множество Парето входят первая, третья и четвертая альтернативы. Вторая альтернатива из дальнейшего рассмотрения исключается.

Рассчитаем значения интегральных критериев и сведем их в таблицу 7.

Таблица 7 – Значения интегральных критериев

Проект	К1	K2	K3	K4
1	3,79	0,80	0,94	0,93
3	3,45	0,52	0,90	0,85
4	3,56	0,61	0,86	0,88

Максимальные оценки по всем интегральным критериям получил первый проект. Он является лучшим.