Пример. Рассмотрим систему s, представляющую собой два окна в операционном зале банка: первое – «Коммунальные платежи» и второе – «Операции по вкладам». Возможны 4 состояния системы:
S1 – оба окна свободны;
S2 – первое окно свободно, а второе занято;
S3 –первое окно занято, второе свободно;
S4 – оба окна заняты.
Наблюдения дали возможность оценить вероятности перехода системы из одного состояния в другое в течение 20 минут. В результате была получена следующая переходная матрица:
Из этой матрицы следует, что вероятность того, что если в данный момент оба окна заняты, то через 20 минут они также будут заняты, равна P44=0,7. Элемент P41=0 означает вероятность того, что ситуация, когда оба окна одновременно освободятся, является практически невероятной.
На рисунке 5 изображен граф состояний рассмотренного процесса. Переходы, вероятности которых равны нулю, на графе не отображаются.
Наряду с получением переходной матрицы Р важна и другая задача – вычисление вероятности того, что система перейдет из состояния Si в состояние Sj. Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей (4) и переходная матрица (5), то вероятности
0,2
0,4
0,3
0,3
0,1
0,4
0,2
0,7
0,1
0,5
0,5
Рисунок 5 – Граф состояний операционного зала
состояний
системы Рi(k)
(
;
)
определяются
по реккурентной формуле:
(6)
Определим для рассматриваемого примера наиболее вероятное состояние системы через 40 минут, если в начальный момент оба окна были свободны. Как уже указывалось, в качестве шага принят интервал 20 минут. Следовательно, следует имитировать выполнение двух шагов процесса.
Начальное распределение вероятностей:
Р1(0)=1 Р2(0)=0 Р3(0)=0 Р4(0)=0.
Используя матрицу переходных вероятностей, определим по формуле (6) вероятности состояний Рi(k) после первого шага (через 20 минут):
Р1(1) =Р1(0) Р11 + Р2(0) Р21 + Р3(0) Р31 + Р4(0) Р41=1 0,2 + 0 0,3 + 0 0,4+
+ 0 0= 0,2
Р2(1) = Р1(0) Р12 + Р2(0) Р22 + Р3(0) Р32+ Р4(0) Р42= 1 0,4 + 0 0,2 + 0 0 +
+ 0 0,2 = 0,4
Р3(1) = Р1(0) Р13 + Р2(0) Р23 + Р3(0) Р33+ Р4(0) Р43= 1 0,3 + 0 0 + 0 0,5 +
+ 0 0,1 = 0,3
Р4(1)= Р1(0) Р14 + Р2(0) Р24 + Р3(0) Р34+ Р4(0) Р44= 1 0,1+ 0 0,5 + 0 0,1 +
+ 0 0,7 = 0,1
После второго шага:
Р1(2) = Р1(1) Р11 + Р2(1) Р21 + Р3(1) Р31 + Р4(1) Р41= 0,2 0,2 + 0,4 0,3 +
+ 0,3 0,4 + 0,1 0= 0,28
Р2(2) = Р1(1) Р12 + Р2(1) Р22 + Р3(1) Р32+ Р4(1) Р42= 0,2 0,4 + 0,4 0,2 +
+ 0,3 0 + 0,1 0,2 = 0,18
Р3(2) = Р1(1) Р13 + Р2(1) Р23 + Р3(1) Р33+ Р4(1) Р43= 0,2 0,3 + 0,4 0 +
+ 0,3 0,5 + 0,1 0,1 = 0,22
Р4(2) = Р1(1) Р14 + Р2(1) Р24 + Р3(1) Р34+ Р4(1) Р44= 0,2 0,1+ 0,4 0,5 +
+ 0,3 0,1 + 0,1 0,7 = 0,32
Максимальная вероятность Р4(2) = 0,32. Следовательно, наиболее вероятным будет являться состояние, при котором оба окна будут заняты.