- •Векторная величина
- •1.4. Уравнение прямой в отрезках
- •Угол между прямыми в пространстве
- •Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Кривые второго порядка
- •Примеры решения задач.
- •Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Основные определения. Операции над комплексными числами
- •Решение квадратных уравнений
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Комплексные числа и векторы
- •Показательная форма комплексного числа
- •Сложение и вычитание
- •Умножение комплексных чисел
- •Деление комплексных чисел
- •Возведение в степень комплексных чисел
- •Извлечение корня
- •Сложение и вычитание
- •Умножение комплексных чисел
- •Деление комплексных чисел
- •Возведение в степень комплексных чисел
- •Извлечение корня
1.4. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой , то разделив (1) на , получаем уравнение прямой в отрезках
,
где , . Прямая пересекает ось в точке , ось в точке .
Пример 3. Дано общее уравнение прямой . Записать данное уравнение прямой в отрезках.
Решение. , разделим на 7, запишем . Это уравнение в отрезках. Оно говорит о том, что данная прямая проходит через точки , , т. е. Отсекает на положительной части оси абсцисс , на отрицательной части оси ординат – (-7).
Пример 4. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки
Решение. Уравнение искомой прямой можно записать в отрезках .
Легко можно привести уравнение к общему виду .
Ответ: .
Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.
Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:
(12)
Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).
Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12): 1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают.
Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.
Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?
Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).
Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?
Решение: Решим систему уравнений Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.
Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?
Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.
Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).
Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1) Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0
Угол между прямыми в пространстве
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:
l1:
l2:
Угол между прямыми и угол между направляющими векторами этих прямых связаны соотношением: = 1 или = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:
Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.
Если - полярный угол нормали, р - длина отрезка (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде
;
уравнение этого вида называется нормальным.
Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением точки от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты , точки и нормальное уравнение прямой , то отклонение точки от этой прямой может быть вычислено по формуле
.
Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.
Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .
Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой
.
Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.
Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
Нажмите на картинку для просмотра... |
На ортогональном чертеже строим отрезок A1M1перпендикулярно h1. Далее на прямой h1 откладываем отрезок M1M0 равный А2В2. Длину перпендикуляра АM можно найти способом прямоугольного треугольника А1M1M0: |АM| = |А1M0|. |
Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямой а общего положения.
Нажмите на картинку для просмотра... |
Решение задачи проводится по следующей схеме:
|
Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.