Решение

Таблица 6

Поставщики	Потребители					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	2 120	3	6	8	2 5	125
А2	8	1 70	2 35	3	9	105
А3	7	6	4 10	1 85	5	95
А4	2	10	8 10	5	9 120	130
Потребности	120	70	55	85	125

Необходимо найти значение целевой функции: z = ΣΣ C_ijX_ij → min.

Так как Σа_i = Σb_j = 455, то имеем закрытую модель задачи. Необходимо найти оптимальный план перевозок, самым распространенным является метод потенциала, каждому поставщику ставиться потенциал U_i, а покупателю – V_j.

Таблица 7

	V1 = 2	V2 = 0	V3 = 1	V4 = -2	V5 = 2
U1 = 0	2 120	3 3	6 5	8 10	2 5	125
U2 = 1	8 5	1 70	2 35	3 4	9 6	105
U3 = 3	7 2	6 3	4 10	1 85	5 0	95
U4 = 7	2 -7	10 3	8 10	5 0	9 120	130
Потребности	120	70	55	85	125

Поскольку число неизвестных потенциалов (m+n) на 1 больше числа уравнений, то выбираем строку, где есть занятая клетка и для этой строки назначаем потенциал равный 0 (U₁ = 0) и находим последовательность уравнений C_ij – (U_i + V_j) = 0 для нахождения остальных потенциалов.

C₁₁ – (U₁ + V₁) = 0 → 2 – (0 + V₁) → V₁ = 2;

C₁₅ – (U₁ + V₅) = 0 → 2 – (0 + V₅) → V₅ = 2;

C₂₂ – (U₂ + V₂) = 0 → 1 – (1 + V₂) → V₂ = 0;

C₂₃ – (U₂ + V₃) = 0 → 2 – (U₂ + 1) → U₂ = 1;

C₃₃ – (U₃ + V₃) = 0 → 4 – (U₃ + 1) → U₃ = 3;

C₃₄ – (U₃ + V₄) = 0 → 1 – (3 + V₄) → V₄ = -2;

C₄₃ – (U₄ + V₃) = 0 → 8 – (7 + V₃) → V₃ = 1;

C₄₅ – (U₄ + V₅) = 0 → 9 – (U₄ + 2) → U₄ = 7.

Затем для всех свободных клеток определяем величину Δ C_ij:

Δ C₁₂ = C₁₂ - (U₁ + V₂) = 3 – 0 = 3;

Δ C₁₃ = C₁₃ - (U₁ + V₃) = 6 – 1 = 5;

Δ C₁₄ = C₁₄ - (U₁ + V₄) = 8 – (-2) = 10;

Δ C₂₁ = C₂₁ - (U₂ + V₁) = 8 – 3 = 5;

Δ C₂₄ = C₂₄ - (U₂ + V₄) = 3 – (1 – 2) = 4;

Δ C₂₅ = C₂₅ - (U₂ + V₅) = 9 – 3 = 6;

Δ C₃₁ = C₃₁ - (U₃ + V₁) = 7 – 5 = 2;

Δ C₃₂ = C₃₂ - (U₃ + V₂) = 6 – 3 = 3;

Δ C₃₅ = C₃₅ - (U₃ + V₅) = 5 – 5 = 0;

Δ C₄₁ = C₄₁ - (U₄ + V₁) = 2 – 9 = -7;

Δ C₄₂ = C₄₂ - (U₄ + V₂) = 10 – 7 = 3;

Δ C₄₄ = C₄₄ - (U₄ + V₄) = 5 – (7 – 2) = 0.

Так как существуют значения Δ C_ij ≤ 0, то план перевозок следует улучшить. Среди пустых клеток с отрицательными значениями выбираем ту, у которой C_ij наименьшее (в данном примере -7), эта клетка рекомендуется к заполнению, в результате которого одна из заполненных клеток станет пустой.

Для свободной клетки строим контур перевозок, так чтоб одна из вершин находилась в свободной клетки, а остальные в занятых. Свободной вершине присваиваем знак «+», остальные знаки чередуются. Значение наименьшей отрицательной величины прибавляем к положительным значениям и отнимаем от отрицательных, получаем новый контур перевозок.

-

-

+

+

5

120

120

120

0

125

Согласно новому контуру перевозок строим новый опорный план.

Таблица 8

	V1 = -5	V2 = 0	V3 = 1	V4 = -2	V5 = 2
U1 = 0	2 7	3 3	6 5	8 10	2 125	125
U2 = 1	8 12	1 70	2 35	3 4	9 6	105
U3 = 3	7 9	6 3	4 10	1 85	5 0	95
U4 = 7	2 120	10 3	8 10	5 0	9 0	130
Потребности	120	70	55	85	125

Поскольку число неизвестных потенциалов (m+n) на 1 больше числа уравнений, то выбираем строку, где есть занятая клетка и для этой строки назначаем потенциал равный 0 (U₁ = 0) и находим последовательность уравнений C_ij – (U_i + V_j) = 0 для нахождения остальных потенциалов.

C₁₅ – (U₁ + V₅) = 0 → 2 – (0 + V₅) → V₅ = 2;

C₂₂ – (U₂ + V₂) = 0 → 1 – (1 + V₂) → V₂ = 0;

C₂₃ – (U₂ + V₃) = 0 → 2 – (U₂ + 1) → U₂ = 1;

C₃₃ – (U₃ + V₃) = 0 → 4 – (U₃ + 1) → U₃ = 3;

C₃₄ – (U₃ + V₄) = 0 → 1 – (3 + V₄) → V₄ = -2;

C₄₁ – (U₄ + V₁) = 0 → 2 – (7 + V₁) → V₁ = -5;

C₄₃ – (U₄ + V₃) = 0 → 8 – (7 + V₃) → V₃ = 1;

C₄₅ – (U₄ + V₅) = 0 → 9 – (U₄ + 2) → U₄ = 7.

Затем для всех свободных клеток определяем величину Δ C_ij:

Δ C₁₁ = C₁₁ - (U₁ + V₁) = 2 – (-5) = 7;

Δ C₁₂ = C₁₂ - (U₁ + V₂) = 3 – 0 = 3;

Δ C₁₃ = C₁₃ - (U₁ + V₃) = 6 – 1 = 5;

Δ C₁₄ = C₁₄ - (U₁ + V₄) = 8 – (-2) = 10;

Δ C₂₁ = C₂₁ - (U₂ + V₁) = 8 – (1 – 5) = 12;

Δ C₂₄ = C₂₄ - (U₂ + V₄) = 3 – (1 – 2) = 4;

Δ C₂₅ = C₂₅ - (U₂ + V₅) = 9 – 3 = 6;

Δ C₃₁ = C₃₁ - (U₃ + V₁) = 7 – (3 – 5) = 9;

Δ C₃₂ = C₃₂ - (U₃ + V₂) = 6 – 3 = 3;

Δ C₃₅ = C₃₅ - (U₃ + V₅) = 5 – 5 = 0;

Δ C₄₂ = C₄₂ - (U₄ + V₂) = 10 – 7 = 3;

Δ C₄₄ = C₄₄ - (U₄ + V₄) = 5 – (7 – 2) = 0.

Все значения Δ C_ij ≥ 0, значит, оптимальный план перевозки найден. Определим значение целевой функции по данному плану:

z = 125 ∙ 2 + 70 ∙ 1 + 35 ∙ 2 + 10 ∙ 4 + 85 ∙ 1 + 120 ∙ 2 + 10 ∙ 8 + 0 ∙ 9 = 835.

19