1. Обыкновенные жордановы исключения (ожи)

Имеется система m уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1mx_n ≤ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2mx_n ≤ b₂

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_imx_n ≤ b_i

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_nmx_n ≤ b_m

Эту систему можно записать в виде таблицы:

X₁ X₂ X₃

b₁ = a₁₁ a₁₂ a₁₃

b₂ = a₂₁ a₂₂ a₂₃

b₃ = a_m1 … a_mn

Шагом ОЖИ, произведенным над таблицей с элементами a_ij ≠ 0, где i – разрешающая строка, j – разрешающий столбец, называется операция решения уравнения с разрешающим элементом a_ij, относительно x_j, подстановки его во все остальные уравнения исходной системы и записи полученной системы в виде новой таблицы:

x_j = (b_i – (a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_imx_n))/a_ij

b₁ = b₁₁ b₁₂ b_1j b_1n a_ij = a₁₁

b₂ = b₂₁ b₂₂ b_2j b_2n

x_j = - b_i1 -b_i2 1 -b_in

b_m = b_m1 b_m2 b_mj b_mn

где b_rs = (a_rs ∙ a_ij – a_rj ∙ a_is).

Таким образом, шаг ОЖИ переводит исходную матрицу в новую по схеме из 5 правил:

1. разрешающий элемент заменяется на 1;

2. остальные элементы разрешающего j-го столбца без изменений;

3. остальные элементы разрешающей i-ой строки меняют знак на противоположный;

4. остальные элементы матрицы определяются по формуле: b_rs = a_rs ∙ a_ij – a_rj ∙ a_is (где r – строка, s – столбец).

5. ВСЕ элементы матрицы делятся на разрешающий элемент.

Рассмотрим пример решения задач с ОЖИ. Имеется, преобразованная в таблицу, система трех уравнений с тремя неизвестными:

3 1 2 ½ a_ij = a₁₁ = 3

4 ½ 5 7

1 6 8

Разрешающий элемент заменяем на 1, элементы разрешающего (в данном случае 1-го столбца) оставляем без изменения, а у элементов разрешающей (1-ой) строки меняем знаки на противоположные. Остальные элементы матрицы определяем по формуле b_rs = a_rs ∙ a_ij – a_rj ∙ a_is:

b₂₂ = 5 ∙ 3 – 4 ½ ∙ 1 = 15 – 4 ½ = 10 ½;

b₂₃ = 7 ∙ 3 – 4 ½ ∙ 2 ½ = 21 – 11 ¼ = 9 ¾;

b₃₂ = 6 ∙ 3 – 1 ∙ 1 = 17;

b₃₃ = 8 ∙ 3 – 1 ∙ 2 ½ = 24 – 2 ½ = 21 ½.

Получаем новую матрицу, ВСЕ элементы которой делим на разрешающий элемент:

1 -1 -2 ½ ¹/₃ ^-1/₃ ^-5/₆ a_ij = a₂₂ = 3 ½

4 ½ 10 ½ 9 ¾ / 3 = 1 ½ 3 ½ 3 ¼

1 17 21 ½ ¹/₃ 5 ²/₃ 7¹/₆

Разрешающий элемент заменяем на 1, элементы разрешающего (в данном случае 2-го столбца) оставляем без изменения, а у элементов разрешающей (2-ой) строки меняем знаки на противоположные. Остальные элементы матрицы определяем по формуле.

b₁₁ = ¹/₃ ∙ 3 ½ - (^-1/₃) ∙ 1 ½ = 1²/₃

b₁₃ = ^-5/₆ ∙ 3 ½ - (^-1/₃) ∙ 3 ¼ = -1⁵/₆

b₃₁ = ¹/₃ ∙ 3 ½ - 5²/₃ ∙ 1 ½ = -7¹/₃

b₃₃ = 7¹/₆ ∙ 3 ½ - 5²/₃ ∙ 3 ¼ = 6 ²/₃

Получаем новую матрицу, ВСЕ элементы которой делим на разрешающий элемент:

1²/₃ ^-1/₃ -1⁵/₆ ¹⁰/₂₁ ^-2/₂₁ ^-11/₂₁ a_ij = a₃₃ = 1¹⁹/₂₁

-1½ 1 -3 ¼ / 3 ½ = ^-3/₇ ²/₇ ^-13/₁₄

-7¹/₃ 5²/₃ 6²/₃ -2²/₂₁ 1¹³/₂₁ 1¹⁹/₂₁

Разрешающий элемент заменяем на 1, элементы разрешающего (в данном случае 3-го столбца) оставляем без изменения, а у элементов разрешающей (3-ой) строки меняем знаки на противоположные. Остальные элементы матрицы определяем по формуле.

b₁₁ = ¹⁰/₂₁ ∙ 1¹⁹/₂₁ - (^-11/₂₁) ∙ (-2²/₂₁) = ^-4/₂₁

b₁₂ = ^-2/₂₁ ∙ 1¹⁹/₂₁ - (^-11/₂₁) ∙ 1¹³/₂₁ = ²/₃

b₂₁ = ^-3/₇ ∙ 1¹⁹/₂₁ - (^-13/₁₄) ∙ (-2²/₂₁) = -2¹⁶/₂₁

b₃₃ = ²/₇ ∙ 1¹⁹/₂₁ - (^-13/₁₄) ∙ 1¹³/₂₁ = 2 ¹/₂₁

Получаем новую матрицу, ВСЕ элементы которой делим на разрешающий элемент:

^-4/₂₁ ²/₃ ^-11/₂₁ ^-1/₁₀ ⁷/₂₀ ^-11/₄₀

-2¹⁶/₂₁ 2¹/₂₁ ^-13/₁₄ / 1¹⁹/₂₁ = -1⁹/₂₀ 1³/₄₀ ^-39/₈₀

2²/₂₁ -1¹³/₂₁ 1 1¹/₁₀ ^-17/₂₀ ²¹/₄₀

Необходимо проверить правильность решения:

1

X = 0 X = Y ∙ B

1

1 3 1 2 ½ 5 ½

B = 0 ∙ 4 ½ 5 7 = 11 ½

1 1 6 8 9

b₁₁ = 1 ∙ 3 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 2 ½ = 5 ½;

b₂₁ = 1 ∙ 4 ½ + 0 ∙ 5 + 1 ∙ 7 = 11 ½;

b₃₁ = 1 ∙ 1 + 0 ∙ 6 + 1 ∙ 8 = 9.

^-1/₁₀ ⁷/₂₀ ^-11/₄₀ 5 ½ 1

X = -1⁹/₂₀ 1³/₄₀ ^-39/₈₀ ∙ 11 ½ = 0

1¹/₁₀ ^-17/₂₀ ²¹/₄₀ 9 1

b₁₁ = ^-1/₁₀ ∙ 5 ½ + ⁷/₂₀ ∙ 11 ½ + (^-11/₄₀) ∙ 9 = 1;

b₂₁ = -1⁹/₂₀ ∙ 5 ½ + 1³/₄₀ ∙ 11 ½ + (^-39/₈₀) ∙ 9 = 0;

b₃₁ = 1¹/₁₀ ∙ 5 ½ + (^-17/₂₀) ∙ 11 ½+ ²¹/₄₀ ∙ 9 = 1.

Задача № 1.

2 4 3 a_ij = a₁₁ = 2

4 1 2, 5

2 1, 2 1, 5

Разрешающий элемент заменяем на 1, элементы разрешающего (в данном случае 1-го столбца) оставляем без изменения, а у элементов разрешающей (1-ой) строки меняем знаки на противоположные. Остальные элементы матрицы определяем по формуле b_rs = a_rs ∙ a_ij – a_rj ∙ a_is:

b₂₂ = 1 ∙ 2 – 4 ∙ 4 = 2 – 16 = –14;

b₂₃ = ⁵/₂ ∙ 2 – 4 ∙ 3 = 5 – 12 = – 7;

b₃₂ = ⁶/₅ ∙ 2 – 2 ∙ 4 = – 5;

b₃₃ = ³/₂ ∙ 2 – 2 ∙ 3 = 3 – 6 = – 3.

Получаем новую матрицу, ВСЕ элементы которой делим на разрешающий элемент:

1 - 4 - 3 ½ - 2 ^-3/₂ a_ij = a₂₂ = (– 7)

4 - 14 - 7 / 2 = 2 - 7 ^-7/₂

2 - 5³/₅ - 3 1 - 2⁴/₅ ^-3/₂

Разрешающий элемент заменяем на 1, элементы разрешающего (в данном случае 2-го столбца) оставляем без изменения, а у элементов разрешающей (2-ой) строки меняем знаки на противоположные. Остальные элементы матрицы определяем по формуле.

b₁₁ = ½ ∙ (– 7) – (– 2) ∙ 2 = ½;

b₁₃ = ^-3/₂ ∙ (– 7) – (– 2) ∙ (^-7/₂) = 3 ½;

b₃₁ = 1 ∙ (– 7) – 2 ∙ (- 2⁴/₅) = - 1²/₅;

b₃₃ = ^-3/₂ ∙ (– 7) – (^-7/₂) ∙ (- 2⁴/₅) = ⁷/_10.

Получаем новую матрицу, ВСЕ элементы которой делим на разрешающий элемент:

½ - 2 3 ½ ^-1/₁₄ ²/₇ ^-1/₂ a_ij = a₃₃ = (^-1/₁₀)

- 2 1 3 ½ / (– 7) = ²/₇ ^-1/₇ ^-1/₂

- 1²/₅ - 2 ⁷/₁₀ ¹/₅ ²/₅ ^-1/₁₀

Разрешающий элемент заменяем на 1, элементы разрешающего (в данном случае 3-го столбца) оставляем без изменения, а у элементов разрешающей (3-ой) строки меняем знаки на противоположные. Остальные элементы матрицы определяем по формуле.

b₁₁ = (^-1/₁₄) ∙ (^-1/₁₀) – (- ½) ∙ ¹/₅ = ³/₂₈;

b₁₂ = ²/₇ ∙ (^-1/₁₀) – (^-1/₂) ∙ ²/₅ = ⁶/₃₅;

b₂₁ = ²/₇ ∙ (^-1/₁₀) – (- ½) ∙ ¹/₅ = ¹/₁₄;

b₂₂ = (^-1/₇) ∙ (^-1/₁₀) – (- ½) ∙ ¹/₅ = ³/₁₄.

Получаем новую матрицу, ВСЕ элементы которой делим на разрешающий элемент:

³/₂₈ ⁶/₃₅ ^-1/₂ ^-15/₁₄ ^-12/₇ 5

¹/₁₄ ³/₁₄ ^-1/₂ / (^-1/₁₀) = ^-5/₇ ^-15/₇ 5

^-1/₅ ^-2/₅ 1 2 4 -10

Проверка:

1

X = 0 X = Y∙ B

1

1 2 4 3 5

B = 0 ∙ 4 1 2¹/₂ = 6,5

1 2 1,2 1,5 3,5

b₁₁ = 1 ∙ 2 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 3 = 5;

b₂₁ = 1 ∙ 4 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 2 ½ = 6 ½;

b₃₁ = 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1,2 + 1 ∙ 1,5 = 3 ½.

^-15/₁₄ ^-12/₇ 5 5 1

X = ^-5/₇ ^-15/₇ 5 ∙ 6 ½ = 0

2 4 -10 3 ½ 1

b₁₁ = ^-15/₁₄ ∙ 5 + (^-12/₇) ∙ 6 ½ + 5 ∙ 3 ½ = 1;

b₂₁ = ^-5/₇ ∙ 5 + (^-12/₇) ∙ 6 ½ + 5 ∙ 3 ½ = 0;

b₃₁ = 2 ∙ 5 + 4 ∙ 6 ½+ (-10) ∙ 3 ½ = 1.