Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лабораторные работы / Пр.раб.№1 пример

.doc
Скачиваний:
56
Добавлен:
23.02.2014
Размер:
993.79 Кб
Скачать

Цель работы: изучить методы устойчивости стационарных и не стационарных линейных непрерывных и дискретно-непрерывных САР.

Задание:

Период дискретизации T1=2.

Общая передаточная функция будет иметь вид:

Исследуем систему по критериям устойчивости:

Рауса

Гурвица

Михайлова

Найквиста

Ляпунова

Льенора-Шипара

Шур-Кона

D-разбиение

Критерий Ляпунова.

Для того, чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы действительные части корней характеристического уравнения замкнутой системы были отрицательны.

Решив характеристическое уравнение системы:

,

Получим корни:

Построим значения корней на комплексной плоскости:

Рисунок 1 – Корни характеристического уравнения на комплексной

плоскости

Так как корни данного характеристического уравнения имеют отрицательное значение, т.е. лежат в левой полуплоскости, следовательно, система устойчива.

Критерий Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица, составленного по характеристическому уравнению замкнутой системы, были больше нуля.

По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица:

Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а1, а2, а3…аn), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Составляем определитель Гурвица:

Определяем значения миноров:

Так как все миноры определителя Гурвица положительны, то система

устойчива.

Критерий Льенара-Шипара

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица с четными или нечетными индексами были больше нуля.

, следовательно, система устойчива.

Критерий Найквиста.

Для устойчивости замкнутой системы при устойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, построенный по характеристическому уравнению разомкнутой системы, не охватывал точку (-1, j0).

Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид:

В данном выражении заменим р на jω, получим:

Выделим мнимую и реальную части, т.е. Re(Wgh(ω)) и Im(Wgh(ω)), построим АФЧХ разомкнутой системы:

Рисунок 2 – График устойчивости по критерию Найквиста

Данная система устойчива, т.к. годограф Найквиста не охватывал точку (-1, j0), при изменении частоты w от 0 до +∞.

Д-разбиение

Разбиение пространства коэффициентов на области, в которых число правых корней остается неизменным и выделение из них области D(0), называется D – разбиением.

Для упрощения поиска области устойчивости переходят к плоскости, для этого один из коэффициентов характеристического уравнения (например а2) фиксируют, а2 = const означает плоскость, которая пересекает некоторую поверхность по некоторой линии. Эта линия описывается только двумя координатами.

Имеем характеристическое выражение вида:

Общий вид уравнения:

Для заданного характеристического уравнения построим область устойчивости по параметру а1 = 1, выразим его:

а1 = -4р² - 4р

Приравняем правую часть к нулю и произведем замену , выделим действительную и мнимую части:

Выделяем мнимую и реальную часть, изменяем ω от - ∞ до ∞ и строим область устойчивости:

Рисунок 3 – График D разбиение

Строя границу D – разбиения в плоскости А, видим, что кривая пересекает вещественную ось в точке, для которой ω равна 0. Перемещаясь вдоль кривой от точки ω = - ∞ до ω = ∞, заштрихуем ее слева. Областью устойчивости является то, что находится слева от прямой, примыкающая к началу координат, чтобы убедится в этом приравняем точку А к нулю и определим корни полученного уравнения:

Получили, что один корень р1 имеет нулевое значение, а другой р2 действительное отрицательное, т.е. l=1. Т.к. в зоне I к+1= i+l, где i=1, следовательно, к+1=2. Т.к. порядок заданного характеристического уравнения второй, следовательно, данная зона соответствует устойчивой системе. При этом параметр А изменяется в диапазоне действительных чисел. Следовательно, система устойчива.

Критерий Рауса

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны.

Правила составления таблицы Рауса:

В первой строке таблицы Рауса записываются, соответственно, коэффициенты

Во второй строке таблицы Рауса записываются, соответственно, коэффициенты

Коэффициенты третей сроки, вычисляются по формуле

где

4. Коэффициенты четвертой сроки, вычисляются по формуле

где

5. Коэффициенты n-ой сроки, вычисляются по формуле

,

где i – номер столбца, j – номер строки.

Составим таблицу:

столб

срок

1

2

1

4

1

2

4

0

3

1

0

4

1

0

Все коэффициенты первого столбца положительны, следовательно, система устойчива.

Критерий Шур-Кона

Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z – преобразований.

Полученная дискретная функция из исходной передаточной функции, имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение:

z2 -1.25z + 0.39 = 0

По уравнению запишем коэффициенты в виде определителя:

Из полученных определителей следует, что дискретная система устойчива.

Критерий устойчивости Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова является геометрическим приложением принципа аргумента для анализа устойчивости замкнутой системы управления по виду годографа, который может быть получен из характеристического уравнения.

Имеем характеристическое уравнение вида:

Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид:

4p2 + 4p + 1 =0

В данном выражении заменим р на jω, получим:

Выделим мнимую и реальную части, т.е. Re(Wл(ω)) и Im(Wл(ω)), построим АФЧХ разомкнутой системы:

Для того, что бы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь на положительной полуоси проходила последовательно n квадрантов в направлении против часовой стрелки, где n порядок характеристического уравнения. (n=2).

Рисунок 4 – График Михайлова

Вывод: Система устойчива, так как годограф Михайлова, проходит два квадранта начиная с вещественной оси.

Соседние файлы в папке Лабораторные работы