2.4 Критерий Льенара-Шипара

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического уравнения все миноры определителя Гурвица с нечетными индексами были положительными.

Определитель Гурвица составим по коэффициентам характеристического уравнения:

a₀=5.6; a₁=9.6; a₂=5.4; a₃=3.

Составим определитель Гурвица:

Теперь посчитаем определители с нечетными индексами:

>0

>0

По критерию Льенара-Шипара система устойчива, так как все миноры определителя Гурвица с нечетными индексами положительны.

2.5 Критерий Шур-Кона

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определители Шур - Кона с нечетными индексами были меньше 0, а – с четными индексами были больше 0.

Период дискретизации:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы имеет вид:

Воспользуемся таблицей прямых преобразований для преобразования каждой дроби:

Рассмотрим вторую дробь. Умножим и разделим числитель на 0,4403, а знаменатель на 0,4157, Получим:

Из таблиц z-преобразований воспользуемся следующей формулой, соответствующей данной передаточной функции:

Тогда:

Тогда z-преобразование исходной передаточной функции для замкнутой системы будет иметь вид:

Для получения переходной функции умножим полученное изображение на фиксатор (z-1)/z

Характеристическое уравнение дискретной системы имеет вид:

Приравняем получившееся характеристическое уравнение к нулю:

Здесь:

По характеристическому уравнению запишем коэффициенты в виде определителя:

Составим определители Шур-Кона для каждого значения k.

Из полученных значений определителей следует, что условие устойчивости по Шур-Кону выполняется, значит САУ устойчива.

2.6 Критерий Михайлова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси, проходя последовательно все квадранты, число которых равно порядку характеристического уравнения замкнутой системы, и в последнем квадранте уходил в бесконечность.

Проведем следующую замену:

Выделим действительные и мнимые части:

Задавая значения ω от 0 до ∞ определим значения мнимой и действительных частей характеристического уравнения, и построим годограф Михайлова на комплексной плоскости.

Рисунок 2 - Годограф Михайлова

Из рисунка 2 видно, что условие устойчивости по Михайлову выполняется: годограф поворачивается против часовой стрелки, последовательно проходит 3 квадранта, и в третьем квадранте уходит в бесконечность. Следовательно, система устойчива.