Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
52
Добавлен:
23.02.2014
Размер:
212.99 Кб
Скачать

БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УИТ

Лабораторная работа №1

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости систем автоматического регулирования

Выполнил: ст. гр. УИТ-51В

Храмова А.А.

Принял:

Комлева О.А. ______

“______” ___________2009

2009

СОДЕРЖАНИЕ

1. Исходные данные

2. Проверка устойчивости

2.1 Критерий Ляпунова

2.2 Критерий Гурвица

2.3 Критерий Раусса

2.4 Критерий Льенара-Шипара

2.5 Критерий Шур-Кона

2.6 Критерий Михайлова

2.7 Критерий Найквиста

2.8 D-разбиение

Вариант № 6

Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР.

  1. Исходные данные

Общая передаточная функция звеньев:

W(p)=

Параметры, входящие в передаточную функцию.

T

K

T1

d

0.1

1.4

2.2

0.8

С учетом значений всех параметров общая передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

W0(p)=

А передаточная функция замкнутой системы:

Характеристическое уравнение для замкнутой системы:

2. Проверка устойчивости

2.1 Критерий Ляпунова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Определим корни характеристического уравнения.

Рисунок 1-Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Так как все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, условие устойчивости по Ляпунову выполняется, значит, система устойчива.

2.2 Критерий Гурвица

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица были положительны. Определитель Гурвица составим по коэффициентам характеристического уравнения.

a0=4.4; a1=3.52; a2=1.

Составим определитель Гурвица:

Теперь посчитаем определители:

>0

Все коэффициенты характеристического уравнения и диагональные миноры определителя Гурвица положительны, следовательно, система устойчива.

2.3 Критерий Раусса

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными. Таблица Раусса составляется из коэффициентов характеристического уравнения, которые располагаются в таблице по строкам и столбцам. В 1 строке записываются коэффициенты с четными индексами, а во второй – с нечетными. Все остальные клетки таблицы заполняются коэффициентами, которые вычисляются так:

k – номер столбца в таблице, i – номер строки.

Рассчитаем третью строку таблицы Раусса:

С учетом полученных данных таблица Раусса примет вид:

Номер строки

R

1 столбец

2 столбец

1

-

a0=4.4

a2=1

2

-

a1=3.52

a3=0

3

Из таблицы видно, что все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса положительны, значит САУ устойчива.

2.4 Критерий Льенара-Шипара

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического уравнения все миноры определителя Гурвица с нечетными индексами были положительными.

Определитель Гурвица составим по коэффициентам характеристического уравнения:

a0=4.4; a1=3.52; a2=1.

Составим определитель Гурвица:

Теперь посчитаем определители с нечетными индексами:

3.52

>0

По критерию Льенара-Шипара система устойчива, так как все миноры определителя Гурвица с нечетными индексами положительны.

2.5 Критерий Шур-Кона

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определители Шур - Кона с нечетными индексами были меньше 0, а – с четными индексами были больше 0.

Период дискретизации:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы имеет вид:

Воспользуемся таблицей прямых преобразований для преобразования каждой дроби:

Рассмотрим вторую дробь. Умножим и разделим числитель на 2.8e6, а знаменатель на 568175, Получим:

Из таблиц z-преобразований воспользуемся следующей формулой, соответствующей данной передаточной функции:

Тогда:

Тогда z-преобразование исходной передаточной функции для замкнутой системы будет иметь вид:

Для получения переходной функции умножим полученное изображение на фиксатор (z-1)/z

Характеристическое уравнение дискретной системы имеет вид:

Приравняем получившееся характеристическое уравнение к нулю:

Здесь:

По характеристическому уравнению запишем коэффициенты в виде определителя:

Составим определители Шур-Кона для каждого значения k.

Из полученных значений определителей следует, что условие устойчивости по Шур-Кону выполняется, значит САУ устойчива.

2.6 Критерий Михайлова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси, проходя последовательно все квадранты, число которых равно порядку характеристического уравнения замкнутой системы, и в последнем квадранте уходил в бесконечность.

Проведем следующую замену:

Выделим действительные и мнимые части:

Задавая значения ω от 0 до ∞ определим значения мнимой и действительных частей характеристического уравнения, и построим годограф Михайлова на комплексной плоскости.

Рисунок 2 - Годограф Михайлова

Из рисунка 2 видно, что условие устойчивости по Михайлову выполняется: годограф поворачивается против часовой стрелки, последовательно проходит 3 квадранта, и в третьем квадранте уходит в бесконечность. Следовательно, система устойчива.

2.7 Критерий Найквиста

Для устойчивости замкнутой системы, при устойчивой разомкнутой системе, необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, построенный для разомкнутой системы, не охватывал точку .

Проверим на устойчивость разомкнутую систему по критерию Гурвица. Характеристическое уравнение для этой системы имеет следующий вид:

Составим определитель Гурвица:

>0

>0

>0

Все коэффициенты характеристического уравнения и диагональные миноры определителя Гурвица положительны, следовательно, разомкнутая система устойчива.

Построим годограф Найквиста для разомкнутой системы, воспользовавшись программой Matlab 7.0.1. Получаем следующий график:

Рисунок 3- Годограф Найквиста для разомкнутой системы

Годограф Найквиста для разомкнутой системы не охватывает точку . Следовательно, замкнутая система устойчива.

2.8 Определение области устойчивости с помощью D-разбиения по одному параметру.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Для заданного характеристического уравнения построим область устойчивости по параметру a3=3.

Произведем замену p=jω и приравняем правую часть к нулю.

Выделим действительную и мнимую части и построим график:

2

3

k-1

k-2

1

k

Рисунок 4-D-разбиение

Определим область наибольшей устойчивости:

k+i=n,

где k-количество отрицательных корней уравнения,

n- порядок характеристического уравнения,

  1. область наибольшей устойчивости.

Определим корни уравнения:

k=2

Тогда i = n-k=3-2=1. Получили, что областью наибольшей устойчивости является область 1. Коэффициент a3=3 также принадлежит этой области.

Вывод: в ходе лабораторной работы я изучила методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР.

Соседние файлы в папке Лабораторные работы