3.5. Расчет последовательного корректирующего звена методом лачх

Построение логарифмической амплитудно-частотной характери­стики (ЛАЧХ) последовательного корректирующего звена проводится в такой последовательности.

1. Строится ЛАЧХ заданной (нескорректированной) системы.

1. Строится желаемая ЛАЧХ по заданным показателям качества переходного процесса.

2. Строится ЛАЧХ последовательного корректирующего звена путем графического вычитания ЛАЧХ заданной системы из желаемой ЛАЧХ.

3. По виду ЛАЧХ корректирующего звена синтезируются корректирующие звенья.

Построение ЛАЧХ заданной системы по виду передаточой функции. Передаточную функцию разомкнутой системы нужно представить в виде произведения передаточных функций типовых динамических звеньев (ограничимся случаем, когда в системе отсутствуют колебательные звенья и звенья с запаздыванием). Например, пусть пе­редаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Построение. удобно проводить в такой последовательности.

1. Определить сопрягающие частоты ω_i =l/T_i и отложить их по оси абсцисс в логарифмическом масштабе (T_i - постоянные времени передаточной функции W(Р)).

2. Отложить точку А₁ с координатами , 20lgK ( см. рис. 4).

Через точку А₁ провести прямую с наклоном -20 дБ/дек. Построенная таким образом прямая линия совпа­дает с ЛАЧХ при частотах, меньших первой сопрягающей частоты (по порядку их расположения на оси частот слева направо).

3. На частоте сопряжения ω_i характеристика меняет свой наклон либо на +20 дБ/дек, если постоянная времени T_i = l/ ω_i находится в чис­лителе исходной передаточной функции, либо на -20 дБ/дек, если по­стоянная времени T_i находится в знаменателе передаточной функции.

Построение желаемой ЛАЧХ. При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три области: область низких частот, область средних частот и область высоких частот. Вид ЛАЧХ в каждой из областей по разному влияет на качество системы. В области низких частот вид ЛАЧХ определяет точность работы системы в установившихся режимах. Область средних частот определяет дина­мические свойства системы. Вид ЛАЧХ в области высоких частот практически мало влияет на качество системы.

Построение желаемой ЛАЧХ удобно начинать с области средних частот в такой последовательности.

По заданным величинам σ_max и t_p определяем с помощью табл. 3 частоту среза ω_c.

Например, пусть задано, что σ_max =30 % , t_p=l,5 с. Из табл.1 для σ_max ⁼30% определяем t_p ω_c /π =3,2, откуда следует: ω_{c =} 3,2 π /1,5=6,7 с^-1 .

-20дБ/дек L()

Желаемая ЛАЧХ

В ЛАЧХ КУ

-40дБ/дек А₂

+40дБ/дек

L₃

-20дБ/дек +20дБ/дек

-20дБ/дек М

Запретная

Область

д L₃ L₁

-40 дБ/дек А₁ -20дБ/дек

₂ ₃ _c ₄ ₅ ₆

Lg

_В ₁ _А1=1рад/с L₂

-40дБ/дек

-60дБ/дек

Исходная

ЛАЧХ -80дБ/дек

Рис. 4. Логарифмическая амплитудная частотная

характеристика следящей системы.

-60дБ/дек

-80дБ/дек

Таблица 3

σmax,%	10	15	20	25	30	35	40
tp ωc/π	5	4.4	4	3.6	3.2	3	2.8
L1 , дб	18	15	13.5	12	11	10.5	10
, гр	85	80	65	55	45	40	35

Наносим на ось абсцисс частоту среза _с и проводим через нее прямую линию с наклоном -20 дБ/дек (рис.4).

Частота ₂ , ограничивающая область средних частот желаемой ЛАЧХ слева определяется величиной отрезка L₁ которая может быть найдена в зависимости от заданной величины σ_max из табл.1. Частота ω₅, ограничивающая область средних частот справа, определяется ве­личиной отрезка L₂, при этом

В области высоких частот желаемую ЛАЧХ нужно строить в виде прямолинейных отрезков с наклоном, кратным -20 дБ/дек. (т.е. -40, - 60, -80 и т.д.) , таким образом, чтобы разность характеристик желае­мой и заданной в пределе при ω —» ∞ составляла прямую линию, па­раллельную оси частот.

В области низких частот желаемая ЛАЧХ строится следующим образом. По заданной величине коэффициента усиления системы K_c= ω_omax/x_max определяем величину L_A2 = 20LgK_c и отмечаем на чертеже точку А₂ с координатами ω_а2 =1 с^-1 и L_A2 (см. рис.4). Через точку А₂ проводим прямую линию с наклоном -20 дБ/дек.

От точки М, ограничивающей область средних частот слева, про­водим прямую линию с наклоном -40дБ/дек до пересечения с низко­частотной частью желаемой ЛАЧХ.

Если в задании на разработку следящей системы указана макси­мально допустимая ошибка слежения Х_mах при условии, что входной сигнал может изменяться с максимальной угловой скоростью ω_omax и с максимальным угловым ускорением ε_omax , то для выполнения этих требований необходимо, чтобы желаемая ЛАЧХ не попадала бы в запретную область.

Запретная область строится следующим образом. Отмечаем на чер­теже точку В с координатами:

От точки В вправо проводим прямую линию с наклоном -40 дБ/дек, а влево - прямую линию с наклоном -20 дБ/дек. Если ЛАЧХ, построенная по заданному коэффициенту К_с , попадает в запретную область, то это означает, что при данном коэффициенте К_с заданная точность слежения не может быть обеспечена и нужно его увеличить, т.е. поднять желаемую ЛАЧХ так, чтобы она не попадала в запретную область.

Для обеспечения заданных показателей качества переходного про­цесса скорректированная система должна обладать определенным запа­сом устойчивости по фазе. Необходимая величина запаса устойчивости по фазе для заданной величины максимального перерегулирования указана в табл.1.

Можно использовать другой формализованный метод построения желаемой ЛАХ [5]:

1. Характеристики нескорректированной системы и желаемая характеристики в возможно большом диапазоне должны совпадать друг с другом. В противном случае, реализация корректирующих устройств усложняется.

2. В низкочастотной области наклон характеристики должен составлять -20 дБ/дек, где  - порядок астатизма системы.

3. Низкочастотная асимптота при частоте среза ω =1 с^-1 должна иметь ординату L= 20LgK , где К коэффициент усиления всей системы. При этом К находится из выражения: ,где  - ошибка регулирования.

4. Частота среза находится по приближенной формуле :

где t_p- заданное время регулирования,

к – определяется из графика (рис 5) по величине перерегулирования 

Сопрягающие частоты слева и справа от частоты среза должны располагаться на расстоянии 0,4 – 0,8 дБ от частоты среза. Желаемая ЛАХ должна пересекать ось абсцисс с наклоном -20 дБ/дек. После этого сопрягают среднечастотную часть ЛАХ с низкочастотной участком ЛАХ с наклоном – 20, 40, 60 дБ/дек.

Высокочастотная часть ЛАХ должна по форме повторять исходную ЛАХ.

к

5

4

3 Рис. 5. График для

определения частоты

среза.

2

1

 %

0 10 20 30 40

Расчет последовательного корректирующего звена. ЛАЧХ последовательного непрерывного корректирующего звена строится путем графического вычитания из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ за­данной части системы.

По ЛАЧХ корректирующего звена произведем его синтез (рис 6).

L() 0дБ/дек 6

1

L₆

0дБ/дек -20дБ/дек +40дБ/дек

ЛАЧХ КУ5 5¹ 6 ¹

L₄ +20дБ/дек L₅

2 3 0дБ/дек 4

L₃

Lg()

₁ 1рад/с ₂ ₃ ₄ ₅

а)

Lg()

1 рад/с

L₄

б)

Lg()

1 рад/с

L₅

в)

Lg()

1 рад/с L₆

г)

Lg()

1 рад/с

L₇ L₄

д)

Рис. 6. Синтез корректирующего устройства.

Для этого возьмем звено, приведенное на рисунке 7, которое воспроизводит участок 1-2-3 ЛАХ (рис4) корректирующего устройства.

R₂

R₁

Корректирующее устройство имеет

частотную передаточную функцию [5]

,

U_вх

U_вых

где Т=R₂C,

С

причем .

Рис. 7. Корректирующее устройство 1

Участок ЛАХ 3, 4, 5¹, 6 ¹ сформируем с мощью корректирующей цепочки приведенной, приведенной на рисунке 8.

R₁ Корректирующее устройство имеет

С

R₂

U_вх

U_вых

частотную передаточную функцию

,

U_вх

где Т=R₁C, ,

причем

Рис. 8. Корректирующее устройство 2.

Участок ЛАХ 5¹, 6 ¹ также сформируем с с помощью цепочки, приведенной на рис 6, но при этом

Суммарная ЛАЧХ, рассмотренных корректирующих устройства (рис 4д) отличается от необходимого нам ЛАЧХ КУ (рис 4а), тем, что он опущен вниз по оси ординат на величину L₃+L₇.

Для обеспечения соответствия обоих ЛАХ друг другу нужно увеличить общий коэффициент усиления системы на величину

,

т.е. произведение коэффициентов передачи фазового детектора, усилителя, электромашинного усилителя, двигателя, измерительного устройства и редуктора должно быть равно К.

Таким образом, скорректированная система будет иметь структурную схему, приведенную на рисунке 9.

g(t) e(t) y(t)

W_у(р)

W_эму(р)

W_д(р)

W_ку(р)

W_ред(р)

W_дат(р)

Рис.9. Структурная схема скорректированной следящей сис­темы

По структурной схеме, приведенной на рис. 3 найдем передаточную функцию разомкнутой системы. Для этого представим ее в виде

U₀ (t)  ₂ y(t)

W_ред(р)

W_о(р)

W_об(р)

W_дат(р)

U₁

Рис 10. Преобразованная структурная схема системы управления углом поворота вала обрабатывающего станка, где

;

После несложных преобразований получим:

,

но при этом будем иметь в виду, что параметры К_об и Т_об могут быть изменены изменением значений К_у и К_дел, чем воспользуемся при окончательной настройке системы.

Передаточная функция разомкнутой системы управления станком имеет вид:

По передаточной функции разомкнутой системы построим исходную ЛАХ. Для этого сначала определим сопрягающую частоту ω=l/0,017=58,8Гц и отложим ее на оси абсцисс в логарифмическом масштабе.

Отложим точку с координатами , 20lg0,015=- 36,5. Дальнейшее построение ясно из рис.11.Из формулы найдем необходимый коэффициент усиления системы

По техническому заданию =0,01. ТогдаК=99. При этом20lgК=20lg99=39,9.

По формуледлязаданного значения перерегулирования - 15% и времени регулирования 2 сек, с использованием графика, приведенного на рис 5 определим_с

Имеем Гц. Примем_с=4 Гц.

Сопрягающие частоты слева и справа от _с возьмем равными 0,4 декадам. Таким образом,₂₌ 1,6Гц.

60

0дБ/дек

В А

40

L₁

К

200

З апретная

область

0



С

_с=4

₄=58,8

=0,009

-20

Желаемая

ЛАХ

-36,5

Исходная

ЛАХ

=10

= 0,1

= 1

-40

-60

ЛАХ КУ

₁=0,7

₂₌1,6

0дБ/дек

40дБ/дек

Рис. 11. Логарифмические характеристикисистемы

управления углом поворота вала обрабатывающего станка

Построение желаемой ЛАХ начнем с низкочастотной области. Для этого, через точку с координатами 1 и 39,9 проведем линию АК с наклоном 20дб/дек. Через частоту среза_стакже проведем линию с наклоном20дб/дек. Через точку С (₂₌ 1,6Гц) проведем линию с наклоном 60дб/дек до пересечения с линией АК. Абсцисса точки пересечения этих линий равна 0,7 Гц.

ЛАХ корректирующего устройства не входит в запретную область, координаты точки излома В которой, соответственно равны _В= 0,009 Гц,L_В=47,2.

Для удобства реализации корректирующих устройств средне и высокочастотные части желаемой ЛАХ выберем аналогичными исходной ЛАХ.

Разность ординат желаемой и исходной ЛАХ дают ЛАХ корректирующего устройства. При этом, корректирующее устройство может быть реализовано путем последовательного включения двух звеньев, приведенных на рисунке 7. этого возьмем звено, приведенное на рисунке 7, которое воспроизводит участок 1-2-3 ЛАХ (рис4) корректирующего устройства.

R₁

Параметры частотной передаточной функции найдем из условий:

Т=R₂C, _, , откуда получим:

Т=0,63c; k=2,27,

Задаваясь С=2мк, получим R₂=315 кОм, R₁=250 кОм,

Передаточные функции корректирующих устройств будут иметь вид

,

Общий коэффициент усиления системы будет равен10^3,3=19952000.

Схема электрическая системы управления углом поворота вала обрабатывающего станка приведена на рис. 12.

Рис. 12. Электрическая схема системы управления углом поворота

R₁

вала обрабатывающего станка

М₂

М₁

R₆

D₁

D₅

D₂

D₆

R₇

R₃

R₅

R₂

R₄

+U

A

C₁

R₈

R₁

C₂

TV

D₃

D₇

D₄

D₈