13. Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.

Ответ:

Производной функции y=f(x)  в точке х₀ - предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и при условии, что этот предел существует.

Если функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a,b), то такая функция называется дифференцируемой.

Производная сложной функции.

Пусть функция u=g(x) дифференцируема в точке х₀, u₀=g(x₀), а функция y = f(u) дифференцируема в точке u₀.

Тогда, если то ;

Производная обратной функции.

Пусть y=f(x)   - дифференцируема в точке x, f^'(x)≠0 и f(x) - монотонная функция в достаточно малой окрестности точки x.

Тогда f(x) имеет обратную функцию x = φ(y), которая также является непрерывной и монотонной по y, дифференцируемой по y, и ее производная находится по формуле:

Приложение производной к решению задач.

Скорость:

Ускорение:

Сила тока в цепи:

Магнитная индукция: , где Ф – маг. поток.

Сила:

Теплоёмкость:

Скорость вещества вступившего в реакцию:

14. Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.

Ответ:

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента) и обозначается dy.

Вычисление дифференциала.

Дифференциалы сложных функций:

15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Ответ:

Пусть функция y = f(x),x[a; b], непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нем конечное число критических точек первого рода.

Очевидно, что если данная функция монотонна на отрезке [а; b], то наибольшее и наименьшие значения достигаются на концах этого отрезка, а именно:

1) если функция f(x) возрастающая, то f(а)-наименьшее значение и f(b)—наибольшее значение;

2) если функция f(x) убывающая, то f(a)—наиболь­шее значение и f(b)— наименьшее значение.

Если функция f(x) не является монотонной, то свое наибольшее значение на отрезке [а;b] она дости­гает либо в одной из то­чек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение  на отрезке [а; b] функция f(x) достигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка [а; b].

Чтобы найти наибольшее и наимень­шее значения функции нужно:

1) найти критические точки первого рода данной функции;

2) вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу [а;b] и на концах отрезка [a; b];

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

16. Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.

Ответ:

Если существует конечный

Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл от а до b функции f(x) равен площади S соответствующей криволинейной трапеции.

Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.