3. Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.

Ответ:

Квадратная матрица A n-го порядка характеризуется неким числом называемым определителем.

Обозначается: detA

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами.

2. Определитель изменит знак, если в нем поменять местами какие-нибудь 2 строки или 2 столбца.

3. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за символ определителя.

4. Определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов пропорциональны.

5. Определитель равен нулю, если он имеет 2 одинаковых строки или 2 одинаковых столбца.

6. Если все элементы некоторой строки или столбца состоят из 2 слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2 определителей, в одном из которых элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, во втором - вторые.

7. Если к элементам некоторого столбца или строки определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.

Правило Сарруса:

=

4. Способы вычисления определителей: разложение по элементам строки или столбца, приведение к треугольному виду.

Ответ:

Теорема о вычисление определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

Где

Примечание: обычно выбирают ту строку или столбец, в котором есть нули.

Правило треугольников:

=

5. Обратная матрица. Алгоритм нахождения.

Ответ:

Невырожденная квадратная матрица – это матрица, определитель которой не равен нулю.

Вырожденная квадратная матрица – это матрица, определитель которой равен нулю.

где Е – единичная матрица

Если квадратная матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица А^-1, которая задаётся условием:

Матрица А^* называется союзной к квадратной матрице А, если элементы матрицы А^* равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы А.

=>

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Алгоритм нахождения:

6. Система линейных уравнений. Методы их решения.

Ответ:

Система линейных уравнений имеет вид:

Система линейных уравнений:

• Однородная – если все свободные члены (b) = 0, т.е. b₁ = b₂ = …b_n=0

• Неоднородная – если все свободные члены (b) не равны нулю.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение - совместная;

если нет ни одного решения - несовместна.

Если совместная система имеет только одно решение - определенная.

Если более одного решения - неопределенной.

Если определитель системы не равен нулю - система имеет единственное решение.

Методы решения системных уравнений.

Метод Крамера.

где j = 1, 2, 3, …, n.

∆ - определитель матрицы, ∆_j - получается из ∆ путем замены j-ого столбца коэффициентов столбцом свободных членов.

Метод Гаусса.

Этот метод решения системы линейных уравнений заключается в последовательном исключении переменных из уравнений для того, чтобы в одном из уравнений осталось одно неизвестное.