- •Матрицы и действия над ними.
- •Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.
- •Обратная матрица. Алгоритм нахождения.
- •Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.
- •Действия над векторами в координатах.
- •Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.
- •Уравнения линий второго порядка.
- •Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.
- •Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
- •Определение несобственного интеграла и его вычисление.
- •Дифференциальные уравнения и их решение.
- •Интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций.
-
Матрицы и действия над ними.
Ответ:
Матрица – прямоугольная таблица чисел, расположенных в n строках и m столбцах. A = (i,j) где i – номер строки, j – номер столбца.
Размерность матрицы – число строк и число столбцов в данной матрице.
Квадратная матрица – матрица, когда у нее число строк и число столбцов равны.
Главная диагональ – диагональ, идущая из верхнего левого до правого нижнего угла.
Побочная диагональ – диагональ, идущая из верхнего правого до нижнего левого угла.
Матрица, у которой все элементы нули называют нулевой матрицей. А = ( 0 0 )
Диагональная матрица – матрица, у которой элементы расположенные вне главной диагонали нули.
Умножение
матрицы на число подчиняется следующим
законам: -ассоциативный
закон относительно числового
множества -распределительный
(дистрибутивный) закон относительного
множества
– дистрибутивный
закон относительно суммы числовых
множителей
Единичная
матрица –
диагональная матрица, в которой элементы
главной диагонали равны 1.
Действия над матрицами.
-
Умножение матрицы на число.
Любую матрицу можно умножить на число.
Для этого каждый элемент матрицы умножается на число.
Свойства
сложения матриц:
– переместительный(коммуникативный)
закон
– сочетательный
(ассоциативный) закон
– где Q-нулевая
матрица соответствующего размера
-
Сложение матриц.
Любые две матрицы одних и тех же размеров можно сложить. Получится матрица в точности тех же размеров.
Пусть
А = и
В = , то A+B=
-
Свойства произведения матриц:
-
- ассоциативность
-
– ассоциативность по умножению
-
-
– умножение на единичную матрицу
-
Матрицу А можно умножать на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В.
Пусть , то возможно только если . При этом в результате получится матрица C размерами .
Пусть , то
Так произведение BA существует и равно .
следовательно, умножение матриц некоммутативно, т.е. зависит от порядка сомножителя.
-
Свойства транспонирования:
-
3)
-
4)
-
Транспонирование – это операция над матрицами, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Пусть , то транспонированная матрица .
-
Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.
Ответ:
Квадратная матрица A n-го порядка характеризуется неким числом называемым определителем.
Обозначается: detA
Свойства определителей:
-
Определитель не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами.
-
Определитель изменит знак, если в нем поменять местами какие-нибудь 2 строки или 2 столбца.
-
Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за символ определителя.
-
Определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов пропорциональны.
-
Определитель равен нулю, если он имеет 2 одинаковых строки или 2 одинаковых столбца.
-
Если все элементы некоторой строки или столбца состоят из 2 слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2 определителей, в одном из которых элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, во втором - вторые.
-
Если к элементам некоторого столбца или строки определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.
Правило Сарруса:
=