- •Матрицы и действия над ними.
- •Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.
- •Обратная матрица. Алгоритм нахождения.
- •Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.
- •Действия над векторами в координатах.
- •Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.
- •Уравнения линий второго порядка.
- •Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.
- •Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
- •Определение несобственного интеграла и его вычисление.
- •Дифференциальные уравнения и их решение.
- •Интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций.
-
Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.
Ответ:
Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону.
Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: y=f(x), y = y(x), y = F(x) и т.п.
Три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ - зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения).
Пример:
Табличный способ - задание таблицы, в которой различным значениям аргументапоставлены соответствующие значения функции:
х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Графический способ - задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.
Свойства функции:
-
Четная – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
-
Нечетная - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
-
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
График функции y=f(x) - множество всех точек плоскости OXY, для каждой из которых является аргумент x – абсцисса, а y – соответствующим значением функции (ордината).
Преобразование графиков:
|
|
|
|
|
k>1 0<k<1 |
|
k>1 0<k<1 |
|
|
|
|
Части графика, которая лежит выше и на оси ОХ, остаются без изменения, а ниже оси ОХ – симметрично отражаются относительно этой оси. |
|
Части графика, которая лежит левее оси ОУ - удаляются, а правее оси ОУ – остаются без изменения и симметрично отражаются относительно этой оси. |
|
-
Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.
Ответ:
Производной функции y=f(x) в точке х0 - предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и при условии, что этот предел существует.
Если функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a,b), то такая функция называется дифференцируемой.
Производная сложной функции.
Пусть функция u=g(x) дифференцируема в точке х0, u0=g(x0), а функция y = f(u) дифференцируема в точке u0.
Тогда, если то ;
Производная обратной функции.
Пусть y=f(x) - дифференцируема в точке x, f'(x)≠0 и f(x) - монотонная функция в достаточно малой окрестности точки x.
Тогда f(x) имеет обратную функцию x = φ(y), которая также является непрерывной и монотонной по y, дифференцируемой по y, и ее производная находится по формуле:
Приложение производной к решению задач.
Скорость:
Ускорение:
Сила тока в цепи:
Магнитная индукция: , где Ф – маг. поток.
Сила:
Теплоёмкость:
Скорость вещества вступившего в реакцию: