- •Матрицы и действия над ними.
- •Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.
- •Обратная матрица. Алгоритм нахождения.
- •Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.
- •Действия над векторами в координатах.
- •Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.
- •Уравнения линий второго порядка.
- •Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.
- •Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
- •Определение несобственного интеграла и его вычисление.
- •Дифференциальные уравнения и их решение.
- •Интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций.
-
Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.
Ответ:
Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента) и обозначается dy.
Вычисление дифференциала.
Дифференциалы сложных функций:
-
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Ответ:
Пусть функция y = f(x),x[a; b], непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нем конечное число критических точек первого рода.
Очевидно, что если данная функция монотонна на отрезке [а; b], то наибольшее и наименьшие значения достигаются на концах этого отрезка, а именно:
1) если функция f(x) возрастающая, то f(а)-наименьшее значение и f(b)—наибольшее значение;
2) если функция f(x) убывающая, то f(a)—наибольшее значение и f(b)— наименьшее значение.
Если функция f(x) не является монотонной, то свое наибольшее значение на отрезке [а;b] она достигает либо в одной из точек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение на отрезке [а; b] функция f(x) достигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка [а; b].
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции нужно:
1) найти критические точки первого рода данной функции;
2) вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу [а;b] и на концах отрезка [a; b];
3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
-
Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
Ответ:
Если существует конечный
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл от а до b функции f(x) равен площади S соответствующей криволинейной трапеции.
Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
-
Определение несобственного интеграла и его вычисление.
Ответ:
Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если нижний предел интегрирования a или верхний предел b (или оба предела) являются бесконечными, или если функция f(x)имеет точки разрыва на отрезке [a,b].
Если f(x)− непрерывная функция на интервале [a,+∞), то несобственный интеграл выражается через предел в виде:
Если f(x) − непрерывная функция на интервале [a,∞), то несобственный интеграл определяется формулой
-
Дифференциальные уравнения и их решение.
Ответ:
Дифференциальное ур-е – ур-е, связывающее между собой значение независимой переменной х, неизвестной функций y = f (x) и ее производной.
Порядок ур-е – мах. порядок входящей в него производной.
Решение дифференциального ур-е – функция у(х), которое обращает ур-е в тождество.
ОДУ первого порядка – это ур-е вида: .
Общее ур-е:
Уравнения с разделяющимися переменными:
Уравнения вида:
Можно легко свести к уравнению с разделяющимися переменными:
Интегрируя это уравнения получим:
Уравнения с однородной правой частью:
Это ур-е сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой независимой функции u(x) заменой:
Подставляя в ур-е y=xu, y’=u+xu’, получим:
где p(x), q(x) – непрерывные функции
Линейные уравнения:
Представим y(x) = u(x)*v(x).
Тогда:
и ур-е приводится к виду:
Сначала находим функцию:
Затем: