1. Матрицы и действия над ними.

Ответ:

Матрица – прямоугольная таблица чисел, расположенных в n строках и m столбцах. A = (i,j) где i – номер строки, j – номер столбца.

Размерность матрицы – число строк и число столбцов в данной матрице.

Квадратная матрица – матрица, когда у нее число строк и число столбцов равны.

Главная диагональ – диагональ, идущая из верхнего левого до правого нижнего угла.

Побочная диагональ – диагональ, идущая из верхнего правого до нижнего левого угла.

Матрица, у которой все элементы нули называют нулевой матрицей. А = ( 0 0 )

Диагональная матрица – матрица, у которой элементы расположенные вне главной диагонали нули.

Умножение матрицы на число подчиняется следующим законам:

1. -ассоциативный закон относительно числового множества

2. -распределительный (дистрибутивный) закон относительного множества

3. – дистрибутивный закон относительно суммы числовых множителей

Единичная матрица – диагональная матрица, в которой элементы главной диагонали равны 1.

Действия над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

Любую матрицу можно умножить на число.

Для этого каждый элемент матрицы умножается на число.

2. Сложение матриц.

Свойства сложения матриц:

1. – переместительный(коммуникативный) закон

2. – сочетательный (ассоциативный) закон

3. – где Q-нулевая матрица соответствующего размера

Любые две матрицы одних и тех же размеров можно сложить. Получится матрица в точности тех же размеров.

Пусть

А = и

В = , то A+B=

3. Умножение матриц.

Свойства произведения матриц:

1. - ассоциативность

2. – ассоциативность по умножению

3. 

4. – умножение на единичную матрицу

Матрицу А можно умножать на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В.

Пусть , то возможно только если . При этом в результате получится матрица C размерами .

Пусть , то

Так произведение BA существует и равно .

следовательно, умножение матриц некоммутативно, т.е. зависит от порядка сомножителя.

4. Свойства транспонирования:

   1. 3)

   2. 4)

   Транспонирование матрицы.

Транспонирование – это операция над матрицами, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Пусть , то транспонированная матрица .

2. Определители, миноры, алгебраические дополнения.

Ответ:

Квадратная матрица A n-го порядка характеризуется неким числом называемым определителем.

Обозначается: detA

Если порядок матрице равен единице, то определитель такой матрицы равен этому элементу: A=(6), то detA=6.

Вычисление определителя 2-ого порядка:

Пусть , то

Минором некоторого элемента определителя - определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Так, минором элемента будет .

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя - минор этого элемента, умноженный на .