- •К.О. Каширина подземная гидромеханика Тюмень – 2010
- •Каширина к.О. Подземная гидромеханика. Учебник – Тюмень: ТюмГнгу, 2010. – с.
- •Предисловие
- •Плоские задачи теории фильтрации
- •Физические основы теории фильтрации, основные понятия. Закон дарси
- •Геометрические характеристики пористой среды
- •1.2. Скорость фильтрации. Истинная или действительная средняя скорость движения частицы
- •1.3. Линейный закон фильтрации Дарси. Коэффициенты фильтрации и проницаемости
- •Тока переменного сечения
- •Соотношения между метрическими единицами и единицами Si
- •1.4. Нарушение линейного закона фильтрации при больших и малых скоростях. Пределы применимости закона Дарси
- •Критических чисел Рейнольдса
- •1.5. Дифференциальные уравнения теории установившейся фильтрации однородно жидкости
- •2. Установившееся движение несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде. Приток к стоку и источнику на плоскости и в пространстве
- •2.1. Напорный приток к дренажной галерее. Время движения частиц
- •2.2. Плоскорадиальное движение. Приток к совершенной скважине, расположенной в центре кругового пласта
- •2.3. Время движения частицы жидкости, движущейся по радиусу от контура питания к скважине
- •Стоки и источники на плоскости
- •Стоки и источники в пространстве
- •2.6. Фильтрация неньютоновских жидкостей
- •От градиента скорости сдвига
- •3.Плоские задачи теории фильтрации
- •3.1. Связь теории функции комплексного переменного с плоской задачей теории фильтрации. Функция тока. Комплексный потенциал
- •3.2. Установившийся приток к группе совершенных скважин. Интерференция совершенных скважин
- •Неограниченной плоскости
- •Взаимодействии совершенных скважин
- •Прямолинейный контур питания
- •В пласте с прямолинейным контуром питания
- •Питания на дебит
- •Для полосообразной залежи
- •Для круговой залежи
- •Эллиптическом пласте
- •4. Установившееся движение однородной сжимаемой жидкости и газа по линейному и нелинейному законам фильтрации
- •4.1. Одномерное установившееся движение сжимаемой жидкости и газа в трубке тока переменного сечения. Функция Лейбензона
- •4.2. Стационарная фильтрация упругой капельной жидкости в недеформируемой пористой среде
- •4.3. Стационарная фильтрация газа
- •Несжимаемой жидкости и газа к галерее
- •Протоке несжимаемой жидкости и газа
- •И газа к совершенной скважине
- •Притока жидкости и газа к совершенной скважине
- •4.4. Индикаторные диаграммы для несжимаемой жидкости и для газа при линейном и нелинейном законах фильтрации
- •Исследований газовой скважины
- •5. Безнапорное движение жидкости в пористой среде
- •5.1. Особенности безнапорного движения
- •Перемычку при горизонтальном непроницаемом основании
- •Безнапорной фильтрации через прямоугольную перемычку
- •5.2. Гидравлическая теория безнапорного движения через прямоугольную перемычку на горизонтальном основании
- •5.3. Гидравлическая теория безнапорного притока к совершенной скважине
- •5.4. Дифференциальные уравнения гидравлической теории нестационарной безнапорной фильтрации
- •6. Задачи вытеснения одной жидкости другой. Фильтрация неоднородных жидкостей
- •6.1. Общие представления о продвижении краевых и подошвенных вод к нефтяным и газовым скважинам
- •6.2. Вытеснение нефти водой из трубки тока переменного сечения
- •Трубки тока переменного сечения
- •6.3. Прямолинейное движение границы раздела с постоянными толщиной, пористостью и проницаемостью пласта
- •6.4. Плоскорадиальное движение границы раздела с постоянными толщиной, пористостью и проницаемостью пласта
- •Границы раздела двух жидкостей
- •6.5. Кинематические условия на подвижной границе раздела. Характер движения водонефтяного контакта (внк) в наклонных пластах
- •6.6. О некоторых особенностях вытеснения газированной нефти водой и газа газированной нефтью при разработке нефтяных оторочек
- •6.7. Многофазная фильтрация. Упрощенные математические модели вытеснения одной жидкости другой
- •Проницаемостей при вытеснении нефти водой и газом
- •Насыщенностей в зоне вытеснения
- •Табулированные значения насыщенности на фронте вытеснения sф и средней насыщенности sср в зоне вытеснения как функции параметра m0 отношения вытесняющей жидкости к вытесняемой
- •Табулированные значения производной функции Бакли – Леверетта f1'(s)в зависимости от насыщенности вытесняющей жидкости s. Веснение нефти водой
- •При вытеснении нефти водой
- •6.15. Зависимость Kг/Kн от насыщенности sн при параметре sг
- •7. Неустановившаяся фильтрация однородной упругой жидкости
- •7.1. Основные положения упругого режима
- •7.2 Решение одномерных задач методом последовательной смены стационарных состояний
- •Жидкости к прямолинейной галерее.
- •7.3. Точные решения для притока упругой жидкости к прямолинейной галерее и к точечному стоку (источнику) на плоскости
- •Состояния (по в.Н. Щелкачеву)
- •Действующей с постоянным дебитом (по в.Н. Щелкачеву)
- •Литература
Безнапорной фильтрации через прямоугольную перемычку
Горизонтальная компонента скорости фильтрации
(5.2)
Эта компонента предполагается постоянной вдоль вертикали. Вертикальная компонента по условию равна нулю.
Расход на единицу ширины потока f=1 запишется выражением
(5.3)
Итак мы видим, что отличительным признаком безнапорного движения является линейная зависимость потенциала или функции Н на свободной поверхности от вертикальной координаты Z.
5.2. Гидравлическая теория безнапорного движения через прямоугольную перемычку на горизонтальном основании
Определим из (5.3) уравнение свободной поверхности. Разделяя переменные и интегрируя, получим
(5.4)
Используя граничные условия (см. рис. 5.1)
(5.5)
находим
(5.6)
(5.7)
Решая совместно (5.6) и (5.7), находим расход
(5.8)
Подставляя (5.6) в (5.4) и учитывая (5.8), находим
(5.9)
Получили уравнение параболы. Таким образом, поверхность депрессии является параболой (линия АС, рис 5.1). В действительности формула (5.9) несправедлива. Это видно из следующих соображений. При Р2=0 у выхода в нижний бьеф (х=l) из формулы (5.9) получаем, что h=0. Это приводит к бесконечной скорости фильтрации что невозможно. Поэтому необходимо, чтобы выполнялось условие hx=l>H2, т. е. должен существовать промежуток высачивания.
Формула Дюпюи (5.8), хотя и выведена из допущений гидравлической теории, является строго точной. Строгое доказательство ее дано И.А. Чарным [5].
5.3. Гидравлическая теория безнапорного притока к совершенной скважине
Рассмотрим приток к совершенной скважине. Все обозначения даны на рис. 5.2. Движение считаем установившимся, т. е. Q и h=h(r) от времени не зависят. Скважину считаем стоком, следовательно, дебит будет положительным.
Скорость фильтрации по закону Дарси
(5.10)
Если f=2prh — площадь фильтрации при плоскорадиальном притоке, то дебит скважины выразится формулой
(5.11)
Знак минус здесь не ставим, так как мы рассматриваем скважину сток, а функция h=h(r) является возрастающей функцией расстояния.
Разделяя переменные в уравнении (5.11) и интегрируя, получаем
(5.12)
Из граничного условия h=Hк при r=Rк находим
(5.13)
Подставляя (5.13) в (5.12), найдем уравнение свободной поверхности (АСС'A', рис. 5.2). Используя второе граничное условие h=Hc при r=rc и выражение (5.13), из (5.12) получаем формулу Дюпюи
(5.14)
Формула (5.14), как и формула (5.8), является строго точной.
5.4. Дифференциальные уравнения гидравлической теории нестационарной безнапорной фильтрации
Согласно гидравлической теории безнапорного движения считается, что напор Н=Н(х, у, z, t) является постоянной величиной вдоль каждой вертикали, а горизонтальные проекции скорости фильтрации u, u равномерно распределены вдоль каждой вертикали. Тогда напор равен глубине потока (Н=h) и компоненты скорости запишутся в следующем виде:
(5.15)
Расходы потока на единицу ширины в направлениях х и у соответственно будут равны:
(5.16)
Составим уравнение неразрывности для нестационарного грунтового потока. Выделим элемент грунта высотой Н=h и площадью сечения dxdy (рис. 5.4). За время dt в параллелепипед поступает
Вытекает за то же время
Рис. 5.4. Схема к выводу уравнения гидравлической теории
Следовательно, накопленный объем за время dt составит
(5.17)
Этот объем идет на повышение высоты Н, которая за время dt меняется на величину Учитывая пористость т, изменение объема можно записать еще в таком виде
(5.18)
Приравнивая (5.17) и (5.18), находим
(5.19)
Подставляя значение qx и qy из (5.16) в (5.19), получим
(5.20)
или
(5.21)
Получили дифференциальное уравнение гидравлической теории нестационарного безнапорного потока Буссинеска. Как видим, уравнение это нелинейное параболического типа в частных производных. В общем случае точного решения не имеет. Точные решения для частных случаев имеются у П.Я. Полубариновой-Кочиной.
Одним из методов приближенного решения подобных уравнений является метод линеаризации Л.С. Лейбензона. Л.С. Лейбензон указал замечательное сходство уравнения (5.21) с дифференциальным уравнением неустановившегося движения газа в пористой среде. В дальнейшем мы рассмотрим эту аналогию.