Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

37241.doc

Скачиваний:

Добавлен:

08.12.2018

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

6. Указания к решению типовых задач

6.1. Ряды Числовым рядом называется выражение вида

. (6.1)

При этом числа называются членами ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (6.1) и говорят, что ряд сходится, если конечный предел не существует, то говорят, что ряд расходится.

Пример 1. Найти n-ю частичную сумму ряда и исходя из определения исследовать ряд на сходимость, если .

Решение

Найдем сумму данного ряда.

Следовательно, данный ряд сходится по определению и его сумма равна .

Ответ: , .

Для исследования рядов на сходимость применяются также достаточные признаки сходимости числовых рядов. Перечислим наиболее употребительные из них.

Первый признак сравнения

Если для рядов (6.2) и (6.3) с положительными членами (6.4) , то из сходимости ряда (6.3) следует сходимость ряда (6.2), а из расходимости ряда (6.2) следует расходимость ряда (6.3).

Второй признак сравнения

Если для рядов (6.2) и (6.3) с положительными членами существует , то ряды (6.2) и (6.3) сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера

Если в ряде (6.2) с положительными членами отношение (n+1)-го члена к n-му при имеет конечный предел , т.е. , то: 1) ряд сходится при ,

2) ряд расходится при .

При признак не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Признак Коши (радикальный)

Если для ряда (6.2) с положительными членами существует конечный предел , то:

1) при ряд сходится,

2) при ряд расходится,

3) – признак «не работает».

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда (6.2) положительны и не возрастают, т.е. и пусть f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, что , ,…, . Тогда, если сходится несобственный интеграл , то ряд (6.2) также сходится; если расходится, то ряд (6.2) также расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Используем для сравнения с данным рядом гармонический ряд . Этот ряд расходится.

Найдем .

Так как существует конечный предел отношения n-х членов данного и гармонического рядов при , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно (по второму признаку сравнения). Следовательно, данный ряд расходится.

Ответ: расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Для исследования на сходимость применим признак Даламбера. Найдем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

следовательно, ряд сходится.

Ответ: сходится.

Рассмотрим ряд, в котором знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд вида

, (6.5)

где – положительны.

Для исследования знакочередующихся рядов на сходимость применяется признак Лейбница.

Признак Лейбница

Если в знакочередующемся ряде (6.5) и , то ряд (6.5) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена .

Ряд (6.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов; если же ряд из абсолютных величин расходится, а ряд (6.5) сходится, то он называется условно сходящимся.

Пример 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. В данном ряде и , следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим знакоположительный ряд . Для исследования его на сходимость применим гармонический ряд (расходится). Используя второй признак сходимости, получаем . Следовательно, знакоположительный ряд расходится, а данный ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от x.

Рассмотрим функциональный ряд

. (6.6)

Совокупность тех значений x, при которых ряд (6.6) сходится, называется областью сходимости ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является функцией от x. Ее обозначают .

Пример 5. Найти область сходимости функционального ряда и исследовать его на сходимость на границе ряда .

Решение. Данный функциональный ряд сходится абсолютно для тех значений x, которые удовлетворяют условию

(6.7)

(на основании признака Даламбера).

Решим неравенство (6.7)

; .

Итак, ряд сходится, если .

Исследуем сходимость ряда на границе полученной области.

Пусть . Тогда ряд примет вид . Этот ряд расходится (гармонический).

При имеем ряд

Полученный ряд – знакочередующийся. Он сходится (по признаку Лейбница):

и .

Следовательно, ряд сходится в области .

Известно, что существуют интегралы, которые не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.

Пример 6. Используя разложение в степенной ряд подынтегральной функции, вычислить приближенно определенный интеграл , взяв три члена разложения, и оценить погрешность.

Решение. Разложим в ряд подынтегральную функцию:

Тогда

Ограничившись тремя членами разложения, имеем:

Так как ряд в правой части предыдущего равенства – знакочередующийся, то погрешность, допущенная при замене суммы ряда третьей частичной суммой, не превосходит абсолютной величины четвертого члена: .

Тогда .

Ответ: , .

Тригонометрическая система функций

1, , , , , …, , ,…

является ортогональной на отрезке (как и на всяком отрезке длины ), т.е. интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю.

Если (т.е. ), то существуют числа

, ,

, называемые коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд

называется рядом Фурье функции f(x).

Если периодическая функция f(x) с периодом кусочно-гладкая на отрезке , то ряд Фурье сходится к значению f(x) в каждой точке ее непрерывности и к значению в точках разрыва, т.е.

Пример 7. Периодическую функцию f(x), заданную на , разложить в ряд Фурье, построить графики f(x) и суммы первых трех членов ряда, отличных от нуля, если

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье.

;

Следовательно,

6.2. Двойные и тройные интегралы

Пусть функция определена в ограниченной замкнутой области плоскости . Разобьем область на непересекающихся элементарных областей , площади которых обозначим через . В каждой области произвольным образом выберем точку . Выражение называется интегральной суммой для функции по области . Будем увеличивать так, чтобы при , где – наибольшее расстояние между точками области . Если существует конечный , не зависящий от способа разбиения области на части и выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции в области и обозначается .

Аналогично определяется тройной интеграл от функции в области :

Правила вычисления двойных интегралов в декартовой системе координат.

1. Если область (рис. 7) правильная в направлении оси (любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках) и ограничена линиями , , и , то

. (6.8)

2. Если область (рис. 8) правильная в направлении оси и ограничена линиями , , и , то

. (6.9)

3. Если область (рис. 9) не является правильной, то ее разбивают на сумму правильных областей

Пример 8. Представить двойной интеграл в виде суммы двукратных интегралов: а) внешний интеграл по ; б) внешний интеграл по .

Решение. а) из чертежа (рис. 10) видно, что область является правильной в направлении оси . Проекция области на ось Oy . При этом изменяется от до . – дуга окружности с центром в точке и радиусом 2: . Отсюда . – отрезок прямой, проходящей через точки и , следовательно, уравнение этой прямой имеет вид:

, .

Таким образом, получаем [см. (6.9)]

;

б) разбивая область (рис. 11) на 2 правильные области и , получаем:

Область является правильной в направлении оси Значения переменной изменяются от до . При этом изменяется от до дуги окружности . Отсюда, по формуле (6.8)

Аналогично

Таким образом,

Пример 9. Вычислить в случаях:

а) прямоугольной области, заданной неравенствами , ;

б) области, ограниченной линиями .

Решение: а) так как область прямоугольник (рис. 12), то

;

б) область является правильной в направлении оси (рис. 13), поэтому используем формулу (6.8).

Ответ: а) ; б) .

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод замены переменных. Формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

где новые переменные,

, , .

Наиболее часто используют переход к полярной системе координат. При этом , , .

Пример 10. Найти площадь и массу пластины (см. рис.14), если она ограничена линиями

, , , и имеет плотность .

Решение. Площадь пластины находится по формуле

Так как область ограничена окружностями, то перейдем к полярной системе координат (в декартовой системе координат область не является правильной, и вычисление интеграла трудоемко). Сделав замену , , найдем уравнения границ области в полярной системе координат

Аналогично ;

Область при этом имеет вид

В соответствии с формулой (6.10) имеем

Масса пластины находится по формуле .

В нашем случае

Ответ: ; .

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.

Пусть областью интегрирования является тело , ограниченное снизу поверхностью , сверху – поверхностью . Причем любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Обозначим через проекцию тела на плоскость . Тогда

Если область ограничена линиями ,

и , то

. (6.11)

Пример 11. Вычислить тройной интеграл

по прямоугольной области , , .

Решение

Ответ: 104.

При вычислении тройного интеграла, как и при вычислении двойного, часто используют метод замены переменных.

Рассмотрим вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.

В цилиндрической системе координат положение точки (рис. 15) определяется тремя числами , где – проекция точки на плоскость , – угол между и осью , и . При этом , , , , где , , , и

. (6.12)

В сферической системе координат положение точки (рис. 16) определяется тремя числами , где , – угол между и положительным направлением оси , – угол между и осью Ox. Сферические координаты и связаны с декартовыми координатами точки формулами , и , где , и . При этом

(6.13)

Пример 12. Найти объем и массу тела , заданного неравенствами (рис. 17) ,

, ,

если его плотность .

Решение. Объем тела находится по формуле . Для вычисления объема перейдем к цилиндрической системе координат: , , . Линии будет соответствовать уравнение в цилиндрической системе координат. Уравнению соответствует . Верхней границе тела в цилиндрической системе координат соответствует , а нижней . При этом . В соответствии с формулой (6.12)