2. Методика розрахунку параметрів трендових моделей і обґрунтування їх вибору

Вид аналітичної функції, за допомогою якої визначають тенденції розвитку у рядах динаміки, залежить від характеру коливань значень ознаки.

1. Якщо показники динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, без різких коливань, більш-менш рівномірно, то динамічні ряди вирівнюють за рівнянням прямої лінії.

При використанні прямолінійного тренду ŷt = а₀ + а₁t параметри а₀ і а₁ можуть бути знайдені шляхом рішення системи нормальних рівнянь:

nа₀ + а1∑t = ∑y;

а₀∑t + а1∑t² = ∑ yt

за формулами: ;

.

На основі даних таблиці 2 визначимо значення параметрів рівняння:

Рівняння прямолінійного тренду прийме вигляд:

ŷt = 27,15 – 0,32t.

Отже, щорічно урожайність в середньому знижувалась на 0,32 ц/га. Підставляючи відповідне даному рокові значення t, визначаємо розрахункові значення ŷt (див. табл. 2.)

Для першого року: у₁ = 27,15 – 0,32∙1 = 26,8 (ц/га);

Для другого року: у₂ = 27,15 – 0,32∙2 = 26,5 (ц/га)

або 26,8 +(– 0,32) = 26,5 (ц/га) і т.д.

2. Якщо зміна рівнів ряду відбувається з приблизно рівномірним прискоренням або уповільненням ланцюгових абсолютних приростів, то динамічні ряди вирівнюють за рівнянням квадратичної параболи.

Для розрахунку параметрів параболічного тренду ŷt = а_{0 +} а₁ t + а₂ t² складаємо систему нормальних рівнянь:

nа₀+ а₁∑t + а₂ ∑t² = ∑у;

а₀∑t + а₁∑t^{2 +} а₂∑t³ = ∑ yt;

а₀∑t^{2 +} а₁∑t³ + а₂∑t= ∑ yt²

Таблиця 2

Матеріали до розрахунку трендових рівнянь урожайності зернових

Вихідні дані		Елементи для розрахунку параметрів трендових рівнянь
		ŷ= а0 + а1t				ŷ=а0 + а1t + а2t²²
Рік	Урожай-ність, ц/га (у)	t	t2	yt	Розрахункове значення ( ŷ)	t	t2	t³	t4	yt	yt2	Розрахункове значення ( ŷ)
1	30,5	1	1	30,5	26,8	1	1	1	1	30,5	30,5	26,9
2	18,0	2	4	36,0	26,5	2	4	8	16	36,0	72,0	26,5
3	29,1	3	9	87,3	26,2	3	9	27	81	87,3	261,9	26,2
4	28,1	4	16	112,4	25,9	4	16	64	256	112,4	449,6	25,8
5	30,9	5	25	154,5	25,6	5	25	125	625	154,5	772,5	25,5
6	17.7	6	36	106,2	25,2	6	36	216	1296	106,2	67,2	25,1
7	26,8	7	49	187,6	24,9	7	49	343	2401	187,6	1313,2	24,8
8	22,0	8	64	176,0	24,6	8	64	512	4096	176,0	1408,0	24,5
9	27,5	9	81	247,5	24,3	9	81	729	6561	247,5	2227,5	24,3
10	23,0	10	100	230,0	24,0	10	100	1000	10000	230,0	2300,0	24,0
∑	253,6	55	385	1368,0	254,0	55	385	3025	25333	1368,0	9472,4	253,6

Таблиця 3

Варіанти для розрахунку відхилень (ŷ-y)² по рівняннях тренду

Рік	Для ŷ= 27-0,32t =а0 + a1 t						Для ŷ= 27,34-0,418t+0,0083t²
	y	ŷ		ŷ– y		(ŷ-y)²	y	ŷ	ŷ– y	(ŷ-y)²
1	30,5	26,8		-3,7		13,69	30,5	26,9	-3,6	12,96
2	18,0	26,5		8,5		72,25	18,0	26,5	8,5	72,25
3	29,1	26,2		-2,9		8,41	29,1	26,2	-2,9	8,41
4	28,1	25,9		-2,2		4,84	28,1	25,8	-2,3	5,29
5	30,9	25,6		-5,3		28,09	30,9	25,5	-5,4	29,16
6	17,7	25,2		7,5		56,25	17,7	25,1	7,4	54,76
7	26,8	24,9		-1,9		3,61	26,8	24,8	-2,0	4,00
8	22,0	24,6		2,6		6,76	22,0	24,5	2,5	6,25
9	27.5	24,3		-3,2		10,24	27,5	24,3	-3,2	10,24
10	23,0	24,0		1,0		1,00	23,0	24,0	1,0	1.00
∑	253,6	254,0	х		205,14		253,6	253,6	х	204,32

Підставляємо розрахункові дані в систему нормальних рівнянь (див. табл. 2).

10а₀+55а₁+385а₂ = 253,6;

55а₀+385 а₁+3025а₂ = 1368,0;

385а₀+3025 а₁+25333а₂ = 9472,4.

Ділимо всі коефіцієнти в рівняннях на відповідні коефіцієнти при а_{0 :}

а₀ + 5,5а₁ + 38,5а₂ = 25,36;

а₀ + 7,0а₁ + 55,0а₂ = 24,87;

а₀ + 7,86а₁ + 65,8а₂ = 24,6.

Віднімаючи від другого рівняння перше, а від третього – друге, отримуємо два рівняння з двома невідомими:

1,5а₁ + 16,5а₂ = – 0,49;

0,86а₁ + 10,8а₂ = – 0,27.

Ділимо кожну складову цих рівнянь на відповідні коефіцієнти при а₁ і віднімаємо від другого рівняння перше.

а₁ + 11а₂ = – 0,327;

а₁ + 12,558а₂ = – 0,314.

1,558а₂ = 0,013

Звідки а₂ = 0,0083.

Методом підстановки отримуємо параметри а₀ та а₁:

а₁ = – 0,327 – 11∙0,0083 = – 0,418;

а₀ = 25,36 – 5,5 ∙(– 0,418) – 38,5∙ 0,0083 = 27,34.

Отже, рівняння параболічного тренду має вигляд:

ŷt = 27,34 – 0,418t + 0,0083t²

Це означає, що в році, який передує початку досліджень, вирівняна урожайність зернових культур складала 27,34 ц/га, початкова швидкість зниження урожайності – -0,418 ц/га, а прискорення зміни щорічних приростів – 0,0083 ц/га.

Підставляючи в отримане рівняння відповідні значення t, визначаємо розрахункові значення показника для кожного року:

ŷ₁=27,34 – 0,418∙1 + 0,0083∙1 = 26,9 (ц/га);

ŷ₂ =27,34 – 0,418∙2 + 0,0083∙4 = 26,5 (ц/га);

ŷ₃ =27,34 – 0,418∙3 + 0,0083∙9 = 26,2 (ц/га) і т.д.

Розрахункові значення показників наведені в таблиці 2. Близькість розрахункової і фактичної суми у (відповідно 254,0 і 253,6) є критерієм правильності проведених розрахунків.

Для обґрунтування вибору трендового рівняння визначимо квадрати відхилень фактичних рівнів від розрахункових (див. табл. 3). Порівняльний аналіз одержаних даних показує, що для трендового моделювання більш обґрунтованим є рівняння параболічного тренду, оскільки сума квадратів відхилень розрахункових значень від фактичних в даному випадку найменша (204,32<205,14).

Рис. 1. Аналітичне вирівнювання урожайності зернових культур

Для екстраполяції (прогнозування) показників на наступні періоди у рівняннях тренду змінюють порядковий номер року та розраховують ŷ.

Так, для 11-го року дослідження при використанні рівняння параболічного тренду отримаємо:

у11 = 27,34 – 0,418 + 0,0083² = 23,7 (ц/га).