7.9 Темы для самостоятельного изучения Элементы теории вероятностей

1. Элементы комбинаторики. Перестановки, сочетания, размещения.

2. Повторение испытаний, схема Бернулли, формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.

3. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Теорема Бейеса.

4. .Определение случайной величины. Дискретное распределение случайной величины, математическое ожидание, дисперсия случайной величины и среднее квадратичное отклонение, их свойства.

5. Непрерывное распределение вероятности (непрерывная случайная величина); математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение и дисперсия непрерывной случайной величины, коэффициент корреляции и ковариация случайных величин.

6. Введение в математическую статистику. Основные понятия: генеральная совокупность, выборки, выборочная средняя, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Доверительный интервал, проверка статистических гипотез.

Элементы линейной алгебры

1. Понятие о векторном пространстве. Линейная зависимость векторов. Базис

2. Матрицы, операции над матрицами. Ранг матрицы.

3. Определители. Алгебраические дополнения. Обратная

4. матрица.

5. . Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем матричным методом.

6. Квадратичные формы. Линейные и ортогональные преобразования. Собственные числа и собственные векторы.

7. Характеристическое уравнение квадратной матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Неотрицательно определенные квадратные матрицы. Модель межотраслевого баланса (МОБ) (модель Леонтьева «затраты-выпуск».

8. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и линейных неравенств. Выпуклые множества.

9. Условный экстремум функции нескольких переменных, метод множителей Лагранжа.

10. Общая задача линейного программирования. Решение экономических задач.

11. Двойственность в линейном программировании.

12. Метод искусственного базиса.

13. Целочисленное программирование.

7.10 Контрольная работа №2

(2 семестр)

Определение варианта контрольной работы.

Первым буквам фамилии, имени и отчества поставим в соответствие числа:

А, Ц, К, Б, Ы, Х, Я =5,

В, П, Ш, Г, И, У, О М =2

Д, , Л, Е, Ж, С, З, Ч =3,

Ф, Щ, Э, Н, Р, Т, Ю=4.

Число, соответствующее фамилии обозначим буквой Ф, имени -буквой И, отчеству - буквой О. Например, для студента Кузнецова Виктора Андреевича соответствуют числа: Ф=1; И=2; О=1.

Если Ф=О, то примем О=О_{стаарое}+1; если Ф=И, то И=И_{стаарое}+2.

Числа Ф, И, О подставляются в задачах вашего варианта

Задание 1. (теория вероятности)

1) В первой коробке содержится Ф+4 шаров, из них 4 белых; во второй коробке содержится И+3 шара, из них 3 белых. Из каждой коробки случайным образом извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взятый шар белый.

2) При обследовании 100Ф человек было установлено, что 40Ф из них страдает болезнью легких, 60Ф курит и 7Ф не курит и не страдает болезнью легких.

а) Найти вероятность того, что человек старше 50 лет курит и страдает болезнью легких;

б) Человек старше 50 лет курит. Найти вероятность того, что он страдает болезнью легких.

4) Вероятность появления события A в одном испытании равна 0,1Ф.

Найти вероятность того , что:

a) при Ф+3 испытаниях событие A появится Ф раз;

b) при 100Ф испытаниях событие A появится не более 80Ф раз и не менее 40Ф раз.

5) Случайная величина задана функцией распределения

a) найти с;

b) математическое ожидание M(X) и среднее квадратичное отклонение s(X);

с) вероятность попадания случайной величины X в интервал (Ф+1,Ф+4).

6) Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием M(X)=Ф и средним квадратичным отклонением s(X)=0.2Ф. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение не меньше Ф.

7) Профсоюзный комитет по выборке из Ф+4 предприятий отрасли подсчитал, что в среднем И% рабочего времени оплачивается по листам нетрудоспособности со среднеквадратическим отклонением в 0.5%. Найти доверительный интервал для среднего процента рабочего времени, оплачиваемого по листам нетрудоспособности с надежностью 0.95; 0.99.

8. Размер дохода в обследуемой группе респондентов приведен в таблице (тыс.руб./мес.): (a=Ф, b= Ф+2, c=Ф+И+2, a1=a+1, b1=b+1, с1=с+2 )

Доход (тыс.р.)	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Кол-во человек.	a	b	C	c+2	c+a1	a1	c1	b1	a1

С надежностью 95% проверить гипотезу о том, что распределение дохода подчинено нормальному закону.

Задание 2. (линейная алгебра)

Все коэффициенты вычисляются по формулам:

a₁₁=Ф; a₁₂=О-Ф; a₁₃=Ф-О;

a₂₁=Ф-И; a₂₂=2И-Ф; a₂₃=Ф-И;

a₃₁=Ф-И; a₃₂=2И-Ф-О; a₃₃=О+Ф-И;

a₄₁=2Ф; a₄₂=3И; a₄₃=2О;

d₁=ФФ+ОО-ФО;

d₂=ФФ-ФИ+2ИО-ФО;

d₃=ФФ-ИФ+2ИО-ФО-ОО.

1.Решить систему а)методом Жордана - Гауcса

2. матричным методом

2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

3. Найти базисные решения системы

4. Исследовать на экстремум функцию

z=a₁₁x²+a₁₂xy+a₂₂y²+a₂₁x+a₃₂y+a₃₃ при условии a₄₁x+a₄₂y=2

4. Найти валовой выпуск продукции каждой из двух отраслей, , если известен вектор Y непроизводственного потребления и матрица A прямых материальных затрат:

Y=(1000Ф; 800И),

4. Решить задачу симплекс-методом; найти решение двойственной задачи.

Сколько единиц продукции каждого из трех видов следует производить, чтобы получить максимальную прибыль при следующих ограничениях :

1. на единицу продукции первого типа затрачивается единиц ресурса А, единиц ресурса В, единиц ресурса С; на единицу продукции второго типа затрачивается единиц ресурса А, единиц ресурса В, единиц ресурса С; на единицу продукции третьего типа затрачивается единиц ресурса А, единиц ресурса В, единиц ресурса С;

2. имеется в наличии всего единиц ресурса А, единиц ресурса В и единиц ресурса С

3. чистая прибыль от продажи продукции первого типа составляет денежных единиц, второго типа денежных единиц, и третьего типа денежных единиц.

Вертикальные черточки в условии задачи означают модуль соответствующего числа.