Iy. Интегральное исчисление

4.1. Применение способа подстановки и интегрирования по частям к вычислению определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.

4.2. Понятие о несобственных интегралах. Интеграл Пуассона. Кратные интегралы.

Y. Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения. Функции полезности. Кривые безразличия.

7.4 Контрольная работа n 1 (1 семестр).

Определение варианта контрольной работы.

Первым буквам фамилии, имени и отчества поставим в соответствие числа:

А, Ц, К, Б, Ы, Х, Я =5,

В, П, Ш, Г, И, У, О, М =2,

Д, , Л, Е, Ж, С, З, Ч =3,

Ф, Щ, Э, Н, Р, Т, Ю=4.

Число, соответствующее фамилии обозначим буквой Ф, имени -буквой И, отчеству - буквой О. Например, студенту Кузнецова Виктора Андреевича соответствуют числа: Ф=1; И=2; О=1.

Числа Ф, И, О подставляются в задачах вашего варианта. Прежде, чем записывать решение задачи в контрольной работе, необходимо записать условие задачи с подставленными числовыми значениями своего варианта.

Задание 1. Даны вершины A(-3+Ф, -4+И), B(-1+Ф, 1+И), ( 2+Ф, -4+И) треугольника АВС. Найти 1) длину стороны ВС; 2) величину внутреннего угла А в радианах с точностью до 0.01; 3) уравнение стороны ВС; 4) уравнение медианы; проведенной из вершины А; 5) уравнение высоты; проведенной через вершину А; 6) длину высоты; проведенной через вершину А; 7) точку пересечения высот треугольника; 8) систему неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Сделать чертеж.

Задание 2. Сколько кг краски каждого из двух видов следует производить, чтобы получить наибольшую прибыль при следующих ограничениях:;

1.В наличии имеется (Ф+1) тыс. кг реагента А и (И+3) тыс. кг реагента В

2. Общее время работы оборудования составляет (О+1) тыс. часов

3. На 1 кг краски 1-го вида расходуется И*0.1 кг реагента А, Ф*0.1 кг реагента В и О*0.1 час. работы оборудования; на 1 кг краски второго вида расходуется О*0.1 кг реагента А, И*0.1 кг реагента В и Ф*0.1 час. работы оборудования.

4. Чистая прибыль от продажи 1 кг краски первого вида составляет Ф рублей; чистая прибыль от продажи 1 кг краски второго вида составляет О рублей. (см. М.Х. Мескон, М. Альберт, Ф. Хедоури, Основы менеджмента, стр 232)

Задание 3. (дифференциальное и интегральное исчисление)

(a=И, b=Ф, a₁ =О)

1).Найти пределы

а) b)

с) ; d)

2).Найти производные

а) у=(aх⁵+bx^a+a)^b; b) y=; c) у=(2a)^sin(bx)+ln(ax²)

3) Исследовать средствами дифференциального исчисления и построить график функции

у=

4).Найти полный дифференциал функции

z=ax³+a₁ yx^2-a+5y-b

5) Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

а) b)

6) Вычислить определенные интегралы

а) b)

с) (несобственный интеграл)

7.5 Вопросы к зачету в 1 семестре

1. .Элементы теории множеств. Отображения.

2. Множества и операции над ними. Диаграммы Эйлера-Венна.

3. Конечные и бесконечные множеств. Основные числовые множества: C,,R, Q, Z, N.

4. Отображения множеств. Числовые функции, способы их задания. Простейшие элементарные функции и их графики.

5. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение векторов и умножение вектора на число, свойства. Разложение вектора по ортам. Скалярное произведение векторов.

6. Операции над векторами, заданными в координатной форме.

7. Координатный метод в математике. Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Длина отрезка. Деление отрезка в заданном отношении.

8. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия, различные способы задания прямой. Угол между двумя прямыми на плоскости. Основные задачи.

9. Геометрический смысл линейных неравенств.

10. Графическое решение задач линейного программирования с двумя переменными. Задача оптимального управления ресурсами.

11. Простейшие задачи на метод координат в пространстве Уравнение плоскости. Уравнение прямой.

12. Понятие об уравнении поверхности. Простейшие поверхности второго порядка.

13. Примеры аналитических математических моделей в управлении. Понятие функциональной зависимости. Производственная функция. Понятие функции и способы задания функций.

14. 13.Числовые последовательности и пределы.

15. Понятие предела. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства. Основные теоремы о пределах. Задача о сложных процентах.

16. Непрерывность функции. Точки разрыва.

17. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.

18. Касательная к плоской кривой. Свойства производной.

19. Таблица производных.

20. Основные правила нахождения производных. Производная сложной функции.

21. Производные высших порядков, их свойства.

22. Понятие дифференциала и его свойства.

23. Признаки возрастания и убывания функций. Максимум и минимум функции.

24. Необходимое условие экстремума.

25. Достаточное условие экстремума Задачи на экстремум.

26. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции.

27. Исследование функций и построение их графиков.

28. Функции нескольких независимых переменных. Частные производные. Полный дифференциал.

29. Полная производная сложной функции. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.

30. Эмпирические формулы уравнений регрессии. Метод наименьших квадратов.

31. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

32. Таблица основных интегралов.

33. Непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой.

34. Интегрирование по частям.

35. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Определенный интеграл и его свойства.

36. Формула Ньютона-Лейбница.

37. Применение способа подстановки и интегрирования по частям к вычислению определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.

38. Понятие о несобственных интегралах. Интеграл Пуассона.

39. Кратные интегралы.

40. Функции спроса и предложения. Функции полезности. Кривые безразличия.